全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題(編輯修改稿)
2025-05-01 03:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝2a．設(shè)B0P0＝B0Q0＝b，則C1Q0＝C1P1＝C1B0＋B0Q0＝r01＋b；B1P1＝B1Q1＝B1C1＋C1P1＝r11＋r01＋b；C0Q1＝C0P0162。＝B1Q1－B1C0＝r11＋r01＋b－r10＝b＋2a－r10＝b＋r00． 但C0P0＝b＋r00；從而C0P0162。＝C0P0，故點(diǎn)P0與P0162。重合．(10分) ② 說(shuō)明兩圓的公共點(diǎn)在兩圓連心線所在直線上，或說(shuō)明兩圓圓心距等于兩圓半徑差，從而兩圓相切． 由于弧的圓心為B0，的圓心為C0，而P0為兩圓公共點(diǎn)，但C0、B0、P0三點(diǎn)共線，故兩圓弧內(nèi)切于點(diǎn)P0． 或：由于C0B0＝C0Q1－B0P0，即兩圓圓心距等于兩圓半徑差，從而兩圓內(nèi)切．(20分)⑵的證明要點(diǎn)：主要有以下兩種思路，一是從角度入手證明，一是從找出圓心入手證明．分述如下：① 說(shuō)明對(duì)兩定點(diǎn)張角相等，從而四點(diǎn)共圓；或說(shuō)明四邊形對(duì)角和為180?，連P0Q0，P0Q1，P1Q0，P1Q1，證法一：證明∠Q0P0Q1＝∠Q0P1Q1．從而說(shuō)明四點(diǎn)共圓．由于∠Q0P0Q1＝∠B0P0Q0－∠C0P0Q1＝(180?－∠P0B0Q0)－(180?－∠P0C0Q1)＝(∠P0C0Q1－∠P0B0Q0)＝(∠AC0B1－∠C0B0C1)＝∠C0MB0；(30分) ∠Q0P1Q1＝∠B1P1Q1－∠C1P1Q0＝(180?－∠P1B1Q1)－(180?－∠P1C1Q0)＝(∠P1C1Q0－∠P1B1Q1)＝∠C1MB1；(40分) 但，∠C0MB0＝∠C1MB1，故∠Q0P0Q1＝∠Q0P1Q1，從而P0，Q0，Q1，P1四點(diǎn)共圓得證． 證法二：利用圓心角證明∠P1Q1P0＝∠P1Q0P0，從而說(shuō)明四點(diǎn)共圓． 由于∠P1Q1P0＝∠P1Q1B1＋∠C0Q1P0＝(180?－∠P1B1Q1)＋(180?－∠P0C0Q1)＝180?－(∠P1B1Q1＋∠P0C0Q1)； (30分) ∠P1Q0P0＝∠P1Q0C1＋∠B0Q0P0＝(180?－∠P1C1Q0)＋(180?－∠P0B0Q0)＝180?－(∠P1C1Q0＋∠P0B0Q0)； (40分) 而∠P1C1Q0＋∠P0B0Q0＝∠P1B1Q1＋∠B1DC1＋∠DB0C0＝∠P1B1Q1＋＋∠P0C0Q1，所以，∠P1Q1P0＝∠P1Q0P0，從而P0，Q0，Q1，P1四點(diǎn)共圓得證．(50分)證法三：利用弦切角證明∠P1Q1P0＝∠P1Q0P0，從而說(shuō)明四點(diǎn)共圓． 現(xiàn)在分別過(guò)點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T，又過(guò)點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線RS，分別交P0T和P1T于點(diǎn)R和S．連接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R和P1Q1S．基于此，我們可由∠P0Q1P1＝π－∠P0Q1R－∠P1Q1S ＝π－(∠P1P0T－∠Q1P0P1)－(∠P0P1T－∠Q1P1P0) (30分)而 π－∠P0Q1P1＝∠Q1P0P1＋∠Q1P1P0，代入上式后，即得 ∠P0Q1P1＝π－(∠P1P0T＋∠P0P1T) (40分)同理可得∠P0Q0P1＝π－(∠P1P0T＋∠P0P1T)．所以四點(diǎn)P0，Q0，Q1，
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