全國高中數(shù)學聯(lián)賽平面幾何題(存儲版)
【正文】 上任意點，有 從而 ．由點的任意性，知點是使達最小值的點．由點在上，故四點共圓． （Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以整理得， 解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 所以，為等腰直角三角形，因為，點在上，所以為矩形，故，所以． [解法三] （Ⅰ）引進復平面，仍用等代表所對應的復數(shù)．由三角形不等式，對于復數(shù)，有 ，當且僅當與（復向量）同向時取等號．有 ，所以 （1），從而 ． （2） ?。?）式取等號的條件是 復數(shù) 與同向，故存在實數(shù)，使得 ， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點共圓．（2）式取等號的條件顯然為共線且在上．故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．7。由此可知∠PB39。在線段DC上且B39。于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180176。充分性：設P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、OP、E四點共線，C、OP、F四點共線，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故OOE、F四點共圓。因為PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四點共圓，且BP為該圓的直徑。＝AN162。則I162。CD 于是得：ABkMN ＝－1，∴OH⊥MN．4. (2003)．證明：聯(lián)結(jié)AB，在△ADQ與△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB 故△ADQ∽△ABC，而有，即BCAF . 又AF是過A、M、F、N四點的圓的直經(jīng)，∴=AFAF sin∠BAC=MN.∴AB與點P0重合，且圓弧與相內(nèi)切于點P0；⑵ 四點P0，Q0，Q1，P1共圓．8.(2007)如圖，在銳角△ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點。. 試證：⑴ 點P0162。AC=AD－∠BAC ∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA ∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤
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