全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題-wenkub
2023-04-19 03:22:43 本頁面
【正文】 1P0) (30分)而 π－∠P0Q1P1＝∠Q1P0P1＋∠Q1P1P0，代入上式后，即得 ∠P0Q1P1＝π－(∠P1P0T＋∠P0P1T) (40分)同理可得∠P0Q0P1＝π－(∠P1P0T＋∠P0P1T)．所以四點(diǎn)P0，Q0，Q1，P1共圓．(50分) 還有例如證明∠P1Q1Q0＋∠P1P0Q0＝180?，從而證明四點(diǎn)共圓等用角來證明四點(diǎn)共圓的方法． ② 找出與這四點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，即確定圓心位置，從而證明四點(diǎn)共圓．若此四點(diǎn)共圓，則圓心應(yīng)在P0Q0、P0QP1Q0、P1Q1的垂直平分線上，也就是在等腰三角形的頂角平分線上．可以作出其中兩條角平分線，證明其他的角平分線也過其交點(diǎn)．或證明△AB1C0與△AB0C1有公共的內(nèi)心． 證法一：作∠AB1C0與∠AC0B1的角平分線，交于點(diǎn)I，則I為△AB1C0的內(nèi)心．作IM⊥AB1，IN⊥AC0，垂足分別為M、N．則AM＝AN＝(AB1＋AC0－B1C0)； 作∠AC1B0與∠AB0C1的角平分線，交于點(diǎn)I162。從而得到P0與P0162。AD＝ABBD＝BC－∠BAC ∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA ∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得 NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH ∴OH⊥MN 另證：以BC所在直線為x軸，D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C (c，0)，則 ∴直線AC的方程為，直線BE的方程為 由 得E點(diǎn)坐標(biāo)為E () 同理可得F () 直線AC的垂直平分線方程為 直線BC的垂直平分線方程為 由 得O () ∵ ∴OB⊥DF 同理可證OC⊥DE．在直線BE的方程中令x＝0得H (0，) ∴ 直線DF的方程為 由 得N () 同理可得M () ∴ ∵kOH AFAC=AD求證：OOE、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是△ABC的垂心。. 試證：⑴ 點(diǎn)P0162。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題ABCDEFMN1.(2000) 如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D．證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等．2. (2001) 如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC
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