全國高中數(shù)學(xué)競賽專題-三角函數(shù)-wenkub
2023-04-19 03:22:43 本頁面
【正文】 是圓的半徑。 （Ⅳ）sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα（奇變偶不變，符號看象限）?????????2?????????2?????????2。這里 k∈Z.?定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kπ 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2kππ 時(shí)，y 取最小值1 。定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos( α β)=cosαcos β sinαsinβ,??sin(α β)=s inαco sβ cosαsin β。OIr?定理 16 面積公式：在任意△ABC 中，外接圓半徑為 R,內(nèi)切圓半徑為 r，半周長 2p則 21sinsinsi(sinsin)24aabcShCrpRABrRC?? 21()()(otctot)pbC??定理 17 與△ABC 三個(gè)內(nèi)角有關(guān)的公式：3 （1） sinsin4coscs。?定義 4 函數(shù) y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x∈[1, 1])，??????????????2,?x函數(shù) y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x∈[1, 1]). 函數(shù) y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。iny?(,)tanxy?(0,)2?（3）嵌入不等式：設(shè) A+B+C=π，則對任意的 x,y,z∈R ，有 22cos2scosxyzAzByC???等號成立當(dāng)且僅當(dāng) yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題1．結(jié)合圖象解題。例 2 設(shè) x∈(0, π), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小。例 4 已知函數(shù) y=sinx+ ，求函數(shù)的最大值與最小值。ysin1?【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2??????????xx因?yàn)?所以,1)4i(???.??t又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ，所以 ，所以21t 212???txy .2121??y因?yàn)?t 1，所以 ，所以 y ?1??t .,??????????????6．圖象變換：y=s inx(x∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??例 6 已知 f(x)=sin( x+ )( 0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱，且在區(qū)間? ??0,43?M上是單調(diào)函數(shù)，求 和 的值。?37．三角公式的應(yīng)用。解得 或 。因此 選 A。csiin)???cosincso? ＝ 。若實(shí)數(shù) a、 b、 c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 對任意實(shí)數(shù) x 恒成立，則 = acbos設(shè) 0 π，求 sin 的最大值。sin2176。于是有 。于是 ，而 f(x)在 上是52?x )()()2)( 221211 fxf ???減函數(shù)，所以 ，即 f(x)在 上的最小值是 。所以，由(2)知 sinc=0，故 c=2kπ+π 或 c=2kπ (k∈ Z)。1cos??a【解】因?yàn)?0 π，所以 ，所以 sin 0, cos 0.?20????2所以 sin （1+ cos ）=2sin 4n?4?又因?yàn)楫?dāng) 0x 時(shí)，tanxx，??n注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。2?2?2??si又 0sinαsin( β)=cos β，所以 1，nco13所以 ，得證。cos66176。cos66176。…sin89176。)(sin2176。sin31176。= 473)42???? ?????????? ? 60sin3)87sin2(si)ins)(i63sin5(si0? ?????????? 45sin)i36)(sni27)(sni18)(sni9(s3)41(i04 ?????又 )72cos1)(36s(4)36sin18(co2 ???? ??? 165)72cos3(4)72cos36???? ??165)72cos3(4)72cos3661????? ??15(4)72cos361???????即 .3sin18co??所以 .10)(89i2i45?????? ???? ????????i)45co7548in) scs4( 1co3654o723)1sisi(4242????? ???? ???? ???? ?????in8(54cos72354cos8i361)( 72cs81cso72)4(1224?????72182 in8o367284?ii5c436? ????scin)( iscc5o344??。)sin30176。sin62176。sin59176。sin2176。=cos6176。1證明：①cos6176。分析：條件涉及到角 ?、 ??，而結(jié)論涉及到角 ???， .故可利用 ??????????)()(或 消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A ”入手.證法 1： ),sin(i?? ),sin()sin(???A),co(i))(cosi ???????A .cosin)tan(,0s,1| A????????從 而 .i)t(,s,|從 而 .cosin)ta(,0s1| A??????從 而?.cosin)ta(,01| A????????從 而證法 2： ??sicoi?A ).tan(sii ])n[()(i???? ).tan
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