【文章內容簡介】 nininiin ??? ???1993 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷第 一 試一．選擇題(每小題 5 分，共 30 分)1． 若 M＝{( x， y)| |tg?y|+sin2?x?0}， N＝{( x， y)| x2+y2≤2}，則 M?N 的元素個數(shù)是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92． 已知 f (x)＝ asinx+b+4(a， b 為實數(shù))，且 f (lglog310)?5，則 f(lglg3)的值是（ ）(A)?5 (B)?3 (C)3 (D)隨 a， b 取不同值而取不同值3． 集合 A， B 的并集 A?B＝{ a1， a2， a3}，當 A?B 時，( A， B)與( B， A)視為不同的對，則這樣的( A， B)對的個數(shù)是（ ）（ A）8 （ B）9 （ C）26 （ D）274． 若直線 x＝ 4?被曲線 C：( x－ arcsina)(x－ arccosa)＋( y－ arcsina)(y＋ arccosa)＝0 所截的弦長為 d，當 a 變化時 d 的最小值是( )(A) (B) 3 (C) 2? (D)?5． 在△ ABC 中，角 A， B， C 的對邊長分別為 a， b， c，若 c?a 等于 AC 邊上的高 h，則 2cossinAC??的值是( )(A)1 (B) 21 (C) 31 (D)?1 12 6． 設 m， n 為非零復數(shù)， i 為虛數(shù)單位， z?C，則方程| z＋ ni|＋| z－ mi|＝ n 與| z＋ ni|－| z－ mi|＝－ m 在同一復平面內的圖形( F1， F2為焦點)是( )二．填空題（每小題 5 分，共 30 分）1． 二次方程(1－ i)x2＋( ?＋ i)x＋(1＋ i?)＝0( i 為虛數(shù)單位， ??R)有兩個虛根的充分必要條件是 ?的取值范圍為________．2． 實數(shù) x， y 滿足 4x2－5 xy＋4 y2＝5，設 S＝ x2＋ y2，則??minax1S_____ __．3． 若 z?C， arg(z2?4)＝ 6?， arg(z2+4)＝ 3?，則 z 的值是_ _______．4． 整數(shù) ???????3109的末兩位數(shù)是_______．5． 設任意實數(shù) x0＞ x1＞ x2＞ x3＞0，要使193logl193log2210 xxx?≥193log0xk?恒成立，則 k的最大值是_____ __．6． 三位數(shù)(100，101，?，999)共 900 個，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如 198 倒過來看是 861；有的卡片則不然，如 531 倒過來看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印__ ___張卡片．三． （本題滿分 20 分） 三棱錐 S－ ABC 中，側棱 SA、 SB、 SC 兩兩互相垂直， M 為三角形 ABC 的重心， D 為 AB 的中點，作與 SC 平行的直線DP．證明：(1) DP 與 SM 相交；(2)設 DP 與 SM 的交點為 D?，則 ?為三棱錐 S－ ABC 的外接球球心．四． （本題滿分 20 分） 設 0＜ a＜ b，過兩定點 A(a，0)和 B(b，0)分別引直線 l 和 m，使與拋物線 y2＝ x 有四個不同的交點，當這四點共圓時，求這種直線 l 與 m 的交點 P 的軌跡．五． （本題滿分 20 分） 設正數(shù)列 a0， a1， a2，?， an，? 滿足 1212???nnnaa(n≥2)且 a0＝ a1＝1．求{ an}的通項公式．x yF1F2 x yF1F2Oo F1F2 F1F2x x yo o y(A) (B) (C) (D) 13 1994 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第 一 試一．選擇題(每小題 6 分，共 36 分)1．設 a， b， c 是實數(shù)，那么對任何實數(shù) x， 不等式 0cossin??xba都成立的充要條件是 (A)a， b 同時為 0，且 c0 (B) 2?? (C) 2?? (D) abc2?2．給出下列兩個命題：(1)設 a， b， c 都是復數(shù)，如果 c22?，則 c20??；(2)設 a， b， c 都是復數(shù)，如果 ab220??，則 ab22?．那么下述說法正確的是 (A)命題(1)正確，命題(2)也正確 (B)命題(1)正確，命題(2)錯誤 (C)命題(1)錯誤，命題(2)也錯誤 (D)命題(1)錯誤，命題(2)正確3．已知數(shù)列 {}an滿足 3411ann???()，且 a9?，其前 n 項之和為 Sn，則滿足不等式||Sn??625的最小整數(shù) n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84．已知 40,1??ab，則下列三數(shù)： xab?(sin)logsi， yab?(cos)lgcos， zab?(in)logcs的大小關系是 (A)x＜ zy (B)y＜ z＜ x (C)z＜ x＜ y (D)x＜ y＜ z5．在正 n 棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是 (A)(,)?2? (B)(,)n?1? (C)(,)02 (D)(,)n?21?6．在平面直角坐標系中，方程|||xyab???1(a， b 是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 14 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形二、填空題(每小題 9 分，共 54 分)1．已知有向線段 PQ 的起點 P 和終點 Q 的坐標分別為(?1，1)和(2，2)，若直線 l： x＋ my＋ m＝0 與 PQ 的延長線相交，則m 的取值范圍是__ ____．2．已知xyaR,[,]???4且 ?????0cosin423ayyx，則 cos()xy?2=_____．3．已知點集})25(()(|,{2????xyA，})25((4|),{??B，則點集B?中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為_____．4．設 0???，則sin(cos)?21?的最大值是______．5．已知一平面與一正方體的 12 條棱的夾角都等于 ?，則 sin=___6．已知 95 個數(shù) a12395,? ， 每個都只能?。? 或 ?1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和1234??的最小值是 _ __．1995 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第 一 試 一．選擇題(每小題 6 分，共 36 分)1. 設等差數(shù)列 {}an滿足 35813a?且 0?， Sn為其前項之和，則 Sn中最大的是( ) (A) S10 (B) 1 (C) 20 (D) 212. 設復平面上單位圓內接正 20 邊形的 20 個頂點所對應的復數(shù)依次為 Z120,? ，則復數(shù) Z11995， Z21995，? ,Z20225所對應的不同的點的個數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203. 如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在 100 個小伙子中，如果某人不亞于其他 99 人，就 15 稱他為棒小伙子，那么，100 個小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 個 (B)2 個 (C)50 個 (D)100 個4. 已知方程 ||()xnkxN???2在區(qū)間(2 n1，2 n+1]上有兩個不相等的實根，則 k 的取值范圍是( ) (A) k?0 (B)01???k (C)1212nn???? (D)以上都不是5. 1tglo,sinlg,tlo,cslgcs1co1sin1in 的大小關系是 ( ) (A) tllill 1cos1sin1cos1sin ??t (B) tgllglilog 1sin1sin1cos1cst (C) coliltltl 1sin1cos1cos1sin ?? (D) ilglgtltglo 1cos1sin1sin1cs6. 設 O 是正三棱錐 PABC 底面三角形 ABC 的中心，過 O 的動平面與 PC 交于 S，與 PA， PB 的延長線分別交于 Q， R，則和式 QRS? (A)有最大值而無最小值 ( B 有最小值而無最大值 (C)既有最大值又有最小值，兩者不等 (D)是一個與面 QPS 無關的常數(shù)二、填空題(每小題 9 分，共 54 分)1. 設 ??,為一對共軛復數(shù)，若 ||????23，且2?為實數(shù)，則 |?_____．2. 一個球的內接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為_______．3. 用[ x]表示不大于實數(shù) x 的最大整數(shù)， 方程 lg[l]20x?的實根個數(shù)是______．4. 直角坐標平面上，滿足不等式組yx???????310的整點個數(shù)是______．5. 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有 5 種顏色可使用，那么不同的染色方 16 法的總數(shù)是______．6. 設 M={1，2，3，…，1995}， A 是 M 的子集且滿足條件:當 xA?時， 15x?，則 A 中元素的個數(shù)最多是______．一九九六年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一、 選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1. 把圓 x2+ (y –1 )2 =1 與橢圓 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共點, 用線段連接起來的圖形是_________.(A) 線段 (B) 不等邊三角形 (C) 等邊三角形 (D) 四邊形2. 等比數(shù)列{a n}的首項 a1＝1536, 公比是 q＝1?． 用 Tn表示它的前 n 項之積，則 Tn(n?N)最大的是____________ (A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13 n，使 np?是整數(shù)的質數(shù) p ． (A) 不存在 (B) 只有一個 (C) 多于一個，但為有限個 (D)有無窮多個4 設 x?(– 21，0)，以下三個數(shù)： ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小關系是 __________． (A) ?3 ?2 ?1 (B) ?1 ?3 ?2 (C) ?3 ?1 ?2 (D) ?2 ?3 ?1[1, 2 ]上, 函數(shù) f(x) = x2 + px + q 與 g(x) = x + ()2在同一點取相同的最小值,那么 f (x)在該區(qū)間上的最大值是__________.(A)344?(B) 345?? (C) 34? (D)以上答案都不對 8 的圓臺內有一個半徑為 2 的球 O1, 球心 O1在圓臺的軸上. 球 O1與圓臺上底面、側面都相切. 圓臺內可再放入一個半徑為 3 的球 O2, 使得球 O2與球 O圓臺的下底面及側面都只有一個公共點 , 除球 O2, 圓臺內最多還能放入半徑為 3 的球的個數(shù)是_____________. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、 填空題(本題滿分 54 分,每小題 9 分)1. 集合{x| –1? log ()10 – , x?N}的真子集的個數(shù)是_____________________ ．2. 復平面上非零復數(shù) z z2在以 i 為圓心 1 為半徑的圓上， z1z1的實部為零，z 1的輻角主值為 ?61，則 z 2 = ____________． C 的極坐標方程是 ? = 1 + cos?, 點 A 的極坐標是(2, 0)． 曲線 C 在它所在的平面內繞 A 旋轉一周, 則它掃過的圖形的面積是______________． , 恰得到一個所有二面角都相等的六面體, 并且該六面體的最短棱的長為 2, 則最遠的兩個基本點頂點的距離是__________． , 每面恰染一種顏色, .(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當?shù)姆D,使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同,那么,我們就說這兩個正方體的染色方案相同). ，以（199，0）為圓心，以 199 為半徑的圓周上，整點（即橫、縱坐標