20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版13(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 C．5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若ca等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)1解：2R(sinC－sinA)=csinA=2RsinCsinA，222。sinC－sinA=sinCsinA，222。2cossin=－[cos(C+A)－cos(C－A)]= [1－2sin2－2cos2+1]．222。(sin+cos)2=1，但sin+cos0，故選A．6．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z206。C，則方程|z+ni|+|zmi|=n與|z+ni||zmi|m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是( )解：方程①為橢圓，②為雙曲線的一支．二者的焦點(diǎn)均為(－ni，mi)，由①n0，故否定A，由于n為橢圓的長(zhǎng)軸，而C中兩個(gè)焦點(diǎn)與原點(diǎn)距離(分別表示|n|、|m|)均小于橢圓長(zhǎng)軸，故否定C．由B與D知，橢圓的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)都在y軸負(fù)半軸上，由n為長(zhǎng)軸，知|OF1|=n，于是m0，|OF2|=－m．曲線上一點(diǎn)到－ni距離大，否定D，故選B．二、填空題（每小題5分，共30分）1．二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l206。R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為_(kāi)_______．解：即此方程沒(méi)有實(shí)根的條件．當(dāng)λ∈R時(shí)，此方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，若其有實(shí)根，則x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相減得(λ+1)(x+1)=0．當(dāng)λ=－1時(shí)，此二方程相同，且有兩個(gè)虛根．故λ=－1在取值范圍內(nèi)．當(dāng)λ≠－1時(shí)，x=－1，代入得λ=2．即λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根x=－1．故所求范圍是λ≠2．2．實(shí)數(shù)x，y滿足4x25xy+4y2=5，設(shè) S=x2+y2，則+=_______．解：令x=rcosθ，y=rsinθ，則S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．∴+=+=．3．若z206。C，arg(z24)= ，arg(z2+4)= ，則z的值是________.解：如圖，可知z2表示復(fù)數(shù)4(cos120176。+isin120176。)．∴ z=177。2(cos60176。+isin60176。)=177。(1+i)．4．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______.解：令x=1031，則得==x2－3x+9－．由于01，故所求末兩位數(shù)字為09－1=08．5．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0x1x2x30，要使log1993+log1993+log1993≥klog1993恒成立，則k的最大值是_______.解：顯然1，從而log19930．即++≥．就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)]( ++)≥k．其中l(wèi)gx0－lgx10，lgx1－lgx20，lgx2－lgx30，由Cauchy不等式，知k≤9．即k的最大值為9．6．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過(guò)來(lái)看仍為三位數(shù)，如198倒過(guò)來(lái)看是861；有的卡片則不然，如531倒過(guò)來(lái)看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．解：首
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