20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析蘇教版12(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x)=f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)．∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函數(shù)；∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函數(shù)．選C．二、填空題(每小題5分共30分)1．設x，y，z是實數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則+的值是______． 解：16y2=15xz，y=，222。164x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，222。+=．2．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是 ． 解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)222。x=kπ，x=kπ (k∈Z)，共有7解．3．從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是 ． 解：正方體共有8個頂點，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=4．4．設z1，z2都是復數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是______．解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120176。，∴ arg()=或．∴ arg()3=π．5．設數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+2185。1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是____.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相減，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+2185。1，得an+4=an．又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200．6．函數(shù)f(x)= －的最大值是_____．解：f(x)= －，表示點(x，x2)與點A(3，2)的距離及B(0，1)距離差的最大值．由于此二點在拋物線兩側(cè)，故過此二點的直線必與拋物線交于兩點．對于拋物線上任意一點，到此二點距離之差大于|AB|=．即所求最小值為．三、(20分)求證：1617．證明：==2(－)，同時=2(－)．于是得2(－)1+2(－)即 161+2(－1)1+2(9－1)=17．四、(20分)設l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離．解：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l162。，l162?！蒻=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足為Q、R，則Q、R∈l162。，且AP=BQ=CR=l與m的距離d． 連PD、QE、RF，則由三垂線定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．
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