【正文】 ，…，n+1}的一個(gè)子集，且其中任 3 個(gè)數(shù)無不能兩兩互質(zhì)．故 f(n)≥card(T)+1．但 card(T)=[ ]+[ ]－[ ]．故 f(n)≥[ ]+[ ]－[ ]+1． ②n+12 n+13 n+16 n+12 n+13 n+16由①與 ②得， f(4)=4，f(5)=5 ．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f(9)≤9．現(xiàn)計(jì)算 f(6)，取 M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意 5 個(gè)數(shù)，當(dāng)這 5 個(gè)數(shù)中有3 個(gè)奇數(shù)時(shí)，這 3 個(gè)奇數(shù)互質(zhì)；當(dāng)這 3 個(gè)數(shù)中有 3 個(gè)偶數(shù) k，k+2，k+4(k?0( mod 2))時(shí)，其中至多有 1 個(gè)被 5 整除，必有 1 個(gè)被 3 整除，故至少有 1 個(gè)不能被 3 與 5 整除，此數(shù)與另兩個(gè)奇數(shù)兩兩互質(zhì)．故 f(6)=5．而 M(m，n+1) =M(m，n) ∪{m+n}，故 f(n+1)≤f(n)+1． ③∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9) =8．∴ 對(duì)于 4≤n≤9，f(n)= [ ]+[ ]－[ ]+1 成立． ④n+12 n+13 n+16設(shè)對(duì)于 n≤k，④成立，當(dāng) n=k+1 時(shí)，由于M(m，k+1) =M(m，k－5) ∪{m+k－5，m +k－4，…，m+k}．在{m +k－5，m+k －4，…，m+k}中，能被 2 或 3 整除的數(shù)恰有 4 個(gè)，即使這 4 個(gè)數(shù)全部取出，只要在前面的 M(m，k －5) 中取出 f(n)個(gè)數(shù)就必有 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)．于是當(dāng) n≥4 時(shí)，f( n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故 f(k+1)≤f(k－ 5)+f(6)－1=[ ]+[ ]－[ ]+1，k+22 k+23 k+26比較② ，知對(duì)于 n=k+1，命題成立．∴對(duì)于任意 n∈N*，n≥4，f(n)= [ ]+[ ]－[ ]+1 成立．n+12 n+13 n+16河大附中校本課程 12 又可分段寫出結(jié)果：f(n)= 4k+1，(n=6k， k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)． 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（一）及參考答案一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1．使關(guān)于 的不等式 有解的實(shí)數(shù) k 的最大值是（ ）xkxx???3A． B． C． D．6?3?6解：令 ，則6,??xxy)(32)()32 ??實(shí)數(shù) k 的最大值為 選 D.????,][( yxx .62．空間四點(diǎn) A、B、C、D 滿足 的取值BDACCDBA???則,9|,1|,7||（ ）A．只有一個(gè) B．有二個(gè) C．有四個(gè) D．有無窮多個(gè)解：注意到 32+112=130=72+92，由于 ，則0?DA2= )(DCD??=AB2+BC2+CD2+2（ +222()BCABBA ??????= ，)BCA??? ))(2 DC???即 ， 只有一個(gè)值 0，故選 ??? DD??3．△ABC 內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的平分線延 長(zhǎng)后分別交此圓于 AB C 1，則 的值為（ ）sinsin2cos2co2co1????高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 13 A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖，連 BA1，則AA1=2sin(B+ )2cos()2sin() CBA????? )2cos(sco)2c2os CA????? ?,sii)(BC??同理 nsc1AB??,sinc1B?? ),sin(2o2o1 CA?原式= 選 A..sinsin)(2?CB4．如圖，ABCD— 為正方體，任作平面 a 與對(duì)DA??角線 AC′垂直，使得 a 與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為 S，周長(zhǎng)為 l，則（ ）A．S 為定值， l 不為定值 B．S 不為定值，l 為定值C．S 與 l 均為定值 D．S 與 l 均不為定值解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐 A—A′BD 與 C′— 后，得到一個(gè)以平行平面CBD?A′BD 與 為上、下底面的幾何體 V，V 的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多BD?邊形 W 的每一條邊分別與 V 的底面上的一條邊平行，將 V 的側(cè)面沿棱 剪開，展A?平在一張平面上，得到一個(gè) □ ，而多邊形 W 的周界展開后便成為一條與1B?平行的線段（如圖中 ） ，1A? 1E?顯然 ，故 l 為定值 .1E???當(dāng) E′位于 中點(diǎn)時(shí)，多邊形 W 為正六邊形，而當(dāng) E′移至 A′處時(shí)，W 為正三角B形，易知周長(zhǎng)為定值 l 的正六邊形與正三角形面積分別為 ，故 S 不為定22364ll與值.選 B.5．方程 表示的曲線是 （ ）13cos23sin2i ????yxA．焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線xC．焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線河大附中校本課程 14 解：，)23cos()2cos(,2320,32 ??? ???????????即 ，sini又 ，0cs,0cs,os,2,0??方程表示的曲線是橢圓.）…（423sin(2si)3cs2()3sin(i ???????*） .4,2,02si,02 ??? ???????.(*),)43sin(??式?即 . 曲線表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，選 ???6．記集合 T={0，1，2，3，4，5，6}，M= ，}4,321,|77{4321 ???iTaai將 M 中的元素按從大到小的順序排列，則第 2022 個(gè)數(shù)是 （ ）A． B．432767?43265C． D．01 7017?解：用 表示 k 位 p 進(jìn)制數(shù)，將集合 M 中的每個(gè)數(shù)乘以 74，得pka][21? },321,|]{[}4,321,|77{ 4321433 ?????????? iTaiTaMii，M′中的最大數(shù)為 [6666]7=[2400]10.在十進(jìn)制數(shù)中，從 2400 起從大到小順序排列的第 2022 個(gè)數(shù)是 2400－2022=396，而[396]10=[1104]7將此數(shù)除以 74，便得 M 中的數(shù) .故選 ?二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 15 7．將關(guān)于 的多項(xiàng)式 表為關(guān)于 y 的多項(xiàng)式x 2022321)( xxxf ??????，其中 ，則029210)( yayayg??? 4?.6512022a?解：由題設(shè)知， 和式中的各項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為 1，公比為 的等比數(shù)列，由等比)(xf x?數(shù)列的求和公式，得： .)221???xf令 ，取 有5)4(),421???ygyx得 ,y 615)(220210 ???gaa?8．已知 是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，若 成(f 43)(??ff立，則 ??a或解：∵ 在（0，+∞ ）上定義，又)(xf，)1(314。 .......5 分()fx??,??4t?????22()()()max()in())1tgtffxf????????高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 9 ......10 分225181(5)6tt??????????（Ⅱ）證：2216(3)4coscoss(tan)1699iiiii ii uug????22164(,3)9cos9cosi iuu???....15 分33 32 211 11(6)(69)sin)(tan)i ii ii ug?? ??????????，而均值不等3 33221 11s,(0,),sin(i)ii iiui u?? ??????且式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，......20 分12313(759)6(tan)(t)(tan)46gugu????二試題一．(本題滿分 50 分)在銳角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 與 AC 上的高 BD 相交于點(diǎn) H，以 DE 為直徑的圓分別交 AB、AC 于 F、G 兩點(diǎn)， FG 與 AH 相交于點(diǎn) K，已知BC=25， BD=20，BE=7，求 AK 的長(zhǎng)．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7，∴ CE=24，CD=15．∵ AC3?2k?綜合得直線 L 的斜率 k 的取值范圍是有限集 。表明直線(2)xy???(34)0y?54(,)3E或 F(,)BD 與曲線 T 有 2 個(gè)交點(diǎn) B、 E；直線 CD 與曲線 T 有 2 個(gè)交點(diǎn) C、F。直線 L 經(jīng)過 D，且與點(diǎn) P123d?1(,)2D的軌跡有 3 個(gè)公共點(diǎn)，所以，L 的斜率存在，設(shè) L 的方程為 ③12ykx??（i）當(dāng) k=0 時(shí)， L 與圓 S 相切，有唯一的公共點(diǎn) D；此時(shí)，直線 平行于 x 軸，表明 L 與雙曲線有不同于 D 的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以 L 恰好與點(diǎn) P 的軌跡有 3 個(gè)公共點(diǎn)。解：（Ⅰ）直線 AB、AC、BC 的方程依次為 。222345671360152CC????過此關(guān)的概率為： 。即有 （個(gè)） 。 .......5 分（Ⅱ）設(shè)事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)失敗”，則對(duì)立事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)成功”。 ）解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。??橫坐標(biāo)為 1。MPN?解：經(jīng)過 M、N 兩點(diǎn)的圓的圓心在線段 MN 的垂直平分線 y=3－x 上，設(shè)圓心為S（a