【正文】 （B ）【解】因?yàn)?，解得 . 20,1x??????,2x由 2log()log xx3log()log2xx???? 解得 ；或 解得 ，320???????01?321???1x?所以 的取值范圍為 .x1, x??且3. 已知集合 ， , ，且??05???axA??06???bxBNa?，則整數(shù)對(duì) 的個(gè)數(shù)為??2,34ABN????b, A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）河大附中校本課程 26 【解】　 ； 。+ ∠ABC，∴∠ ACI= ∠ACB，∴ I 為△ABC 的內(nèi)心。6AD+BC+ ，則 CD= .32?AC解： ，61)45sin1( ????? DABCVBD?即 又 ，??AC323??32??AD=BC= 時(shí)成立，這時(shí) AB=1，AD⊥ 面 ABC，∴DC= .1?11．若正方形 ABCD 的一條邊在直線 上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 ??xy 2xy?則該正方形面積的最小值為 80 .解：設(shè)正方形的邊 AB 在直線 上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) C（高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 17 ） 、D（ ） ，則 CD 所在直線 l 的方程 ，將直線 l 的方程與拋物線1,yx2,yx bxy??2方程聯(lián)立，得 .12,1?????bxb令正方形邊長(zhǎng)為 a，則 ).1(20)(5)()( 122 ????bxy①在 上任取一點(diǎn)（6，－5） ，它到直線 的距離為 172??xy b??5|7|,a②①、② 聯(lián)立解得 ., 2min221 ????ab或12．如果自然數(shù) a 的各位數(shù)字之和等于 7，那么稱 a 為“吉祥數(shù)”，將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列 .5,321 ?mma則若? 解：∵方程 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 而使xxk??? ,1kC??）的整數(shù)解個(gè)數(shù)為 現(xiàn)取 m=7，可知，k 位“吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為(0,1?ixi ,12??mkCP（k）= .65?kC∵2022 是形如 2abc 的數(shù)中最小的一個(gè)“吉祥數(shù)”，且 P（1）= =1，P（2）6C= =7，67P（3）= =28，對(duì)于四位“吉祥數(shù)”1abc，其個(gè)數(shù)為滿足 a+b+c=6 的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，8C即 =28 ?∵2022 是第 1+7+28+28+1=65 個(gè)“吉祥數(shù)”，即 從而 n=65，5n=325..2056?a又 P（4）= ，而210)5(,84669??)(51??kP∴從大到小最后六個(gè)五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52022.∴第 325 個(gè)“吉祥數(shù)” 是 52022，即 .520ma河大附中校本課程 18 三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13．?dāng)?shù)列{ 滿足：}na .,236457,10 Nnaann ?????證明：（1）對(duì)任意 為正整數(shù)；（2）對(duì)任意 為完全平方mN,?1,??na數(shù).證明：（1）由題設(shè)得 且{ 嚴(yán)格單調(diào)遞增，將條件式變形得,51?a}n，3645722???mma兩邊平方整理得 ①0972121???nn ②2???nna①－②得 ??????????? 07,0)7)(( 1111 mnnnnn aaa? ③.7?由③ 式及 可知，對(duì)任意 為正整數(shù).……………………10 分5,10amN,??。?）將① 兩邊配方，得 。??（Ⅰ）求 ；()ma()in()gtfxf?（Ⅱ）證明：對(duì)于 ，若 0,1,23iu???123sinisin1,uu??。這時(shí)，L 與點(diǎn) P 的軌跡恰有 3 個(gè)公共點(diǎn)0k?只能有兩種情況：情況 1：直線 L 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 或點(diǎn) C，此時(shí) L 的斜率 ，直線 L 的方程為12k??。 ........20 分12022243PA??（說(shuō)明：第 2，3 關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）1在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，給定三點(diǎn) ，點(diǎn) P 到直線 BC 的4(0,),(,)3BC?距離是該點(diǎn)到直線 AB，AC 距離的等比中項(xiàng)。6n第 1 關(guān)：事件 所含基本事件數(shù)為 2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為 1 和 2 這兩種情況） ，1過(guò)此關(guān)的概率為： 。問(wèn)：2n（Ⅰ）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？（Ⅱ）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有 1，2，3，4，5，6 點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。11002()()(2)333nnnnn ba???????。(1)()2fxyyx????()f解： ,( 2,ffyx?????對(duì) 有PAB OHC河大附中校本課程 4 (1)()(2fxyfxfy?????有= )(xfy?即 。 綜上， 。t??2log,4????河大附中校本課程 2 設(shè) O 點(diǎn)在 內(nèi)部，且有 ，則 的面積與 的ABC?230OABC??????AB?OC面積的比為（ ）A. 2 B. C. 3 D. 25解：如圖，設(shè) D，E 分別是 AC，BC 邊的中點(diǎn)，則由（1） （2）得，()2()4ACOB??????，3()0O????即 共線，且 ， 故選DE??與 332|2| ,2AECABCOOSSD??????C。20222022 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答河南大學(xué)附中目錄 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………1 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………10 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 1 2022 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）設(shè)銳角 使關(guān)于 x 的方程 有重根，則 的弧度數(shù)為（ ）?24cost0x????A. B. C. D. 6?51or?5612r?12解：因方程 有重根，故24cst0x??cos4t0??? 得0,t(in2)??????sin??，于是 。 故選 C。23C故 。a?2 21a??設(shè)函數(shù) ，且對(duì)任意:,(0)1fRf??滿 足 ,xyR?都 有，則 =___________________。1nio??解：設(shè) 1,01,2.(3)(68,n nnbab????則即 1 ,2()3n nb? ???故數(shù)列 是公比為 2 的等比數(shù)列，{}b。三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）1一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲” 規(guī)則規(guī)定：在第 n 關(guān)要拋擲一顆骰子 n 次，如果這 n 次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于 ，則算過(guò)關(guān)。AA第 n 關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為 個(gè)。 .........15 分?33()()7PA?故連過(guò)前三關(guān)的概率為： 。10’（ii）當(dāng) 時(shí)，L 與圓 S 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 ......20 分1342{0,}7?1已知 是方程 的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù) 的,??241()xttR???2()1xtf???定義域?yàn)?。087)412222 ???????? aaaa僅當(dāng) 或 時(shí)，1?3?.(*)在（0，+∞）上是減函數(shù)，)(xf?22?5,52??aa結(jié)合（*）知 .13??或9．設(shè) 、 、 滿足 ， 若對(duì)于任意???????20，則0)cos()cs()cos(, ????xxxR .34????解：設(shè) ，0)(,0)(, ???? ??fxfRf 知由河大附中校本課程 16 ,0)(,)(????ff即 ,1)cos()cs(,1coscs ?????????? .21)cs(o)()o(?????∵ ， ，??20?]34,2[,????又 .34.., ?????? ???????只 有另一方面，當(dāng) ，有 ，3?? Rx???,記 ，由于三點(diǎn)??x )34sin(),(co),2sin),3(co),sin( ????構(gòu)成單位圓 上正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中心位于原點(diǎn)，顯然有12?y)4cs()cs(????? .0)cos()cs()cs( ?????xxx10．如圖，四面體 DABC 的體積為 ，且滿足∠ACB=45176。如圖，連 DE、DC，作∠BAC 的平分線分別交 DC 于 G、DE 于 I，連 IC，則由 AD=AC，得，AG⊥DC，ID=IC.又 D、C、E 在⊙A 上，∴∠IAC= ∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E 四點(diǎn)共圓，21∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD ，∴∠ICD= ∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90176。由此可得 。21DFt???? 221545()tt?????15DF???? ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) ， 是??32()log1fxx,ab0?的0ab?A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答】 （ A ）【解】顯然 為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增。 即得 。故應(yīng)注水 ＝ 。12x?則令 ， , ( )1x??2x??ii??3,45有 ， 。 15ijijS???所以在 情形取到最小值。綜合（１） （２） （３） ，我們有 。對(duì)于任意 ，1 2(0)())nnnafffa????1n?, 則 。所以必有0Sx????12,x . 因此當(dāng) 取到最大值。因此原方程的實(shí)數(shù)0?1解個(gè)數(shù)為 1 。1(2