【正文】 fy?????有= )(xfy?即 。01,AF??而 是 06FEA?設(shè) p 是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù) k 使得 也是一個正整數(shù)，則 k=____。11002()()(2)333nnnnn ba???????。,07)?和 39。問：2n（Ⅰ）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？（Ⅱ）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有 1，2，3，4，5，6 點數(shù)的均勻正方體。即這是一個不可能事件，過關(guān)的概率為 0。6n第 1 關(guān)：事件 所含基本事件數(shù)為 2（即出現(xiàn)點數(shù)為 1 和 2 這兩種情況） ，1過此關(guān)的概率為： 。 ........10 分265()()1PA???第 3 關(guān)：事件 所含基本事件為方程 當(dāng) a 分別取 3，4，5，6，7，8 時的3xyz?正整數(shù)解組數(shù)之和。 ........20 分12022243PA??（說明：第 2，3 關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來）1在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，給定三點 ，點 P 到直線 BC 的4(0,),(,)3BC?距離是該點到直線 AB，AC 距離的等比中項。依設(shè)，1231|43|,|4|,|55dxydxyd???????，即2 2,|6()|得，化簡得點 P 的軌跡方程為226()0,16(4)50xyxy或圓 S： ......5 分23178y??????與 雙 曲 線 T:8（Ⅱ）由前知，點 P 的軌跡包含兩部分圓 S： ①220xy與雙曲線 T： ②178y???8因為 B（－1，0）和 C（1，0）是適合題設(shè)條件的點，所以點 B 和點 C 在點 P 的軌跡上，且點 P 的軌跡曲線 S 與 T 的公共點只有 B、C 兩點。這時，L 與點 P 的軌跡恰有 3 個公共點0k?只能有兩種情況：情況 1：直線 L 經(jīng)過點 B 或點 C，此時 L 的斜率 ，直線 L 的方程為12k??。 ......15 分1k情況 2：直線 L 不經(jīng)過點 B 和 C（即 ） ，因為 L 與 S 有兩個不同的交點，所12k??以 L 與雙曲線 T 有且只有一個公共點。??（Ⅰ）求 ；()ma()in()gtfxf?（Ⅱ）證明：對于 ，若 0,1,23iu???123sinisin1,uu??。AB ，? AC= AB， ①65∵ BD⊥AC，CE⊥AB ，? B、E、D、C 共圓，?AC(AC－15)=AB (AB－7)，? AB( AB－15)=AB( AB－18)，65 65∴ AB=25，AC=30．?AE=18 ，AD=15．2418 7252015EF BCDAG HKP河大附中校本課程 10 ∴ DE= AC=15．12延長 AH 交 BC 于 P， 則 AP⊥BC．∴ AP6AD+BC+ ，則 CD= .32?AC解： ，61)45sin1( ????? DABCVBD?即 又 ，??AC323??32??AD=BC= 時成立，這時 AB=1，AD⊥ 面 ABC，∴DC= .1?11．若正方形 ABCD 的一條邊在直線 上，另外兩個頂點在拋物線 ??xy 2xy?則該正方形面積的最小值為 80 .解：設(shè)正方形的邊 AB 在直線 上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo) C（高中數(shù)學(xué)競賽講義 17 ） 、D（ ） ，則 CD 所在直線 l 的方程 ，將直線 l 的方程與拋物線1,yx2,yx bxy??2方程聯(lián)立，得 .12,1?????bxb令正方形邊長為 a，則 ).1(20)(5)()( 122 ????bxy①在 上任取一點（6，－5） ，它到直線 的距離為 172??xy b??5|7|,a②①、② 聯(lián)立解得 ., 2min221 ????ab或12．如果自然數(shù) a 的各位數(shù)字之和等于 7，那么稱 a 為“吉祥數(shù)”，將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列 .5,321 ?mma則若? 解：∵方程 的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為 而使xxk??? ,1kC??）的整數(shù)解個數(shù)為 現(xiàn)取 m=7，可知，k 位“吉祥數(shù)”的個數(shù)為(0,1?ixi ,12??mkCP（k）= .65?kC∵2022 是形如 2abc 的數(shù)中最小的一個“吉祥數(shù)”，且 P（1）= =1，P（2）6C= =7，67P（3）= =28，對于四位“吉祥數(shù)”1abc，其個數(shù)為滿足 a+b+c=6 的非負(fù)整數(shù)解個數(shù)，8C即 =28 ?∵2022 是第 1+7+28+28+1=65 個“吉祥數(shù)”，即 從而 n=65，5n=325..2056?a又 P（4）= ，而210)5(,84669??)(51??kP∴從大到小最后六個五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52022.∴第 325 個“吉祥數(shù)” 是 52022，即 .520ma河大附中校本課程 18 三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13．?dāng)?shù)列{ 滿足：}na .,236457,10 Nnaann ?????證明：（1）對任意 為正整數(shù)；（2）對任意 為完全平方mN,?1,??na數(shù).證明：（1）由題設(shè)得 且{ 嚴(yán)格單調(diào)遞增，將條件式變形得,51?a}n，3645722???mma兩邊平方整理得 ①0972121???nn ②2???nna①－②得 ??????????? 07,0)7)(( 1111 mnnnnn aaa? ③.7?由③ 式及 可知，對任意 為正整數(shù).……………………10 分5,10amN,?　（2）將① 兩邊配方，得 。證明：直線 DE、DF 分別通過△ ABC 的內(nèi)心與一個旁心。+ ∠ABC，∴∠ ACI= ∠ACB，∴ I 為△ABC 的內(nèi)心。, caybxcazbcy????求函數(shù) ?11),( 22解：由條件得， ，0)()( ???????abzcyabcazb即 ，0222?cx，同理，得b??.2,2abczacy?a、b、c、x 、y、z 為正數(shù)，據(jù)以上三式知，?，22222 ,bac????故以 a、b、c 為邊長，可構(gòu)成一個銳角三角形 ABC， ，問題轉(zhuǎn)化為：在銳角△ABC 中，CzByAxos,os??求函數(shù) 、 、 ）= (cc CBAcos1scos1222??令 則,ot,t,otwBvAu?? , ??wuvRvu且 ).()()(1 222 vvu?? 1)()1(1cos 22222 ???????uuuA ),(2)(3323 wvwv???高中數(shù)學(xué)競賽講義 23 同理， ).1(2cos1),(2cos1 3232 wvuwCuvvB ???????? )[()( 22233322 vwuwvuf ???+ （(21)])( ??????uv，此時，v? 2)],[), minzyxfzyxcba三、 （本題滿分 50 分）對每個正整數(shù) n，定義函數(shù) ?????.]}{1[,0)(不 為 平 方 數(shù)當(dāng) 為 平 方 數(shù)當(dāng) nnf（其中[x]表示不超過 x 的最大整數(shù)， 試求： 的值.]).[x???2401)(kf解：對任意 ，若 ，則 ，設(shè)*,Nka?22)1(??kaa2?10????則 ].2[]}{1,2}{2 kakakaa ????????讓 a 跑遍區(qū)間 ）中的所有整數(shù)，則2)1(,?k????22)1(21],[][kai于是 ……①????2)1(12][nanikf下面計算 畫一張 2k2k 的表，第 i 行中，凡是 i 行中的位數(shù)處填寫“*”號，?ki21],[則這行的“*”號共 個，全表的“*”號共 個；另一方面，按列收集 “*”號數(shù)，][i??ki21][第 j 列中，若 j 有 T（j）個正因數(shù)，則該列使有 T（j）個“*” 號，故全表的“*”號個數(shù)共河大附中校本課程 24 個，因此 = .??kjT21)(?ki21][?kjT21)(示例如下：ji 1 2 3 4 5 61 * * * * * *2 * * *3 * *4 *56 *則 .)]2(1([)]4(3)[1(]2)1([)(112 nTTnTnjafninikj ????????? ?.②由此， ……③??152561 )](()[()kk kf記 易得 的取值情況如下：,152,(???Ta kak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10因此， ……④????151 3)()kkkafn據(jù)定義 ，062(2ff又當(dāng) ，)3016(5},41{2???rrkk設(shè)?，515222 rr ?????????，則 ……⑤3}1{302???rr },4,1{,]}{[???k從則 .76815)(78)(5612401 ?????ii kfkf高中數(shù)學(xué)競賽講義 25 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1. 已知△ABC，若對任意 ， ，則△ ABC 一定為Rt?ACBt??A．銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不確定 【答】 （C）【解】令 ，過 A 作 于 D。inC??????D??????2. 設(shè) ，則 的取值范圍為2log(1)lg2 xx???A． B． C． 　 D． 【答】?,