【正文】 20222022 全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題解答河南大學附中目錄 2022 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準……………1 2022 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準……………10 高中數(shù)學競賽講義 1 2022 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）設銳角 使關于 x 的方程 有重根，則 的弧度數(shù)為（ ）?24cost0x????A. B. C. D. 6?51or?5612r?12解：因方程 有重根，故24cst0x??cos4t0??? 得0,t(in2)??????sin??，于是 。 故選 B。526??或 512?或已知 。若對所有2{(,)|3},{(,)|}MxyNxymb???，則 b 的取值范圍是（ ）,mRN????均 有A. B. C. D. 6,2???????6,2???????23(,]?23,???????解： 相當于點（0，b）在橢圓 上或它的內(nèi)部M?2xy??。 故選 A。261,32????不等式 的解集為（ ）3212logl0xx??A. B. C. D. [,)(,][,4)(2,4]解：原不等式等價于，設2231log1l00xx???????? 22310log1,txt??????????則 有解得 。即 。 故選 C。t??2log,4????河大附中校本課程 2 設 O 點在 內(nèi)部，且有 ，則 的面積與 的ABC?230OABC??????AB?OC面積的比為（ ）A. 2 B. C. 3 D. 25解：如圖，設 D，E 分別是 AC，BC 邊的中點，則由（1） （2）得，()2()4ACOB??????，3()0O????即 共線，且 ， 故選DE??與 332|2| ,2AECABCOOSSD??????C。設三位數(shù) ，若以 a，b，c 為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，n?則這樣的三位數(shù) n 有（ ）A. 45 個 B. 81 個 C. 165 個 D. 216 個解：a，b，c 要能構成三角形的邊長，顯然均不為 0。即 ,{1,}abc?（1）若構成等邊三角形，設這樣的三位數(shù)的個數(shù)為 ，由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同，1n所以， 。19nC?（2）若構成等腰（非等邊）三角形，設這樣的三位數(shù)的個數(shù)為 ，由于三位數(shù)中只有22 個不同數(shù)碼，為 a、b，因三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當大數(shù)為底時，設 ab，必須滿足 。此時，不能構成三角形的數(shù)碼9 ba?是a 9 8 7 6 5 4 3 2 1b 4，32，1 4，32，1 3，21 3，21 1，2 1，2 1 1共 20 種情況。同時，每個數(shù)碼組（a，b）中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位，有 種情況。23C故 。 綜上， 。22399(0)6(1)56nCC???1265n??OB CAED高中數(shù)學競賽講義 3 頂點為 P 的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A 是底面圓周上的點，B 是底面圓內(nèi)的點，O 為底面圓的圓心， ，垂足為 B， ，垂足為 H，且BO?P?PA=4，C 為 PA 的中點，則當三棱錐 O－HPC 的體積最大時，OB 的長是（ ）A. B. C. D. 5325363263解： ,ABPABHPB????又。C 是 PA 中點，POHO?面 面 OCPA??最大，CHS??當 時也即 最大。OPCHOV??此時，002,326tan3PBP??????1故 =故選 D。二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）在平面直角坐標系 xoy 中，函數(shù) 在一個最小正周期()sinco(0)fxaxa???長的區(qū)間上的圖像與函數(shù) 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 2()1g。解： ，它的最小正周期為 ，振幅為2()1sin(),arctnfxax????其 中 2a?。由 的圖像與 的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補成2fg長為 、寬為 的長方形，故它的面積是 。a?2 21a??設函數(shù) ，且對任意:,(0)1fRf??滿 足 ,xyR?都 有，則 =___________________。(1)()2fxyyx????()f解： ,( 2,ffyx?????對 有PAB OHC河大附中校本課程 4 (1)()(2fxyfxfy?????有= )(xfy?即 。()(),0,1fxyfxy?令 得如圖、正方體 中，二面角 的度數(shù)是________。1ABCD?1ABD解：連結 ，垂足為 E，延長 CE 交 于 F，則 ，連結1,?作 1EB?AE，由對稱性知 是二面角 的平面角。1,EF??1?連結 AC，設 AB=1，則 12,??中， ，1RtABD?在 1?在△AEC 中， 222413cos ????????ECAEC的補角， 。01,AF??而 是 06FEA?設 p 是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù) k 使得 也是一個正整數(shù)，則 k=____。2pk?解：設 ，從而22*224,0,nknNn??????則是平方數(shù)，設為24p?* 2,()mmp?則 22113,4npppn???????????????是 質(zhì) 數(shù) ， 且 解 得。 （負值舍去）22(1)(1),244pmkk????故CED1 C1A1 B1A BDF高中數(shù)學競賽講義 5 1已知數(shù)列 滿足關系式 ，則012,.,.na10(3)68,3nnaa???且的值是_________________________。1nio??解：設 1,01,2.(3)(68,n nnbab????則即 1 ,2()3n nb? ???故數(shù)列 是公比為 2 的等比數(shù)列，{}b。11002()()(2)333nnnnn ba???????。??11 2022()()(3nni niioba? ????????????1在平面直角坐標系 XOY 中，給定兩點 M（－1，2）和 N（1，4） ，點 P 在 X 軸上移動，當 取最大值時，點 P 的橫坐標為___________________。MPN?解：經(jīng)過 M、N 兩點的圓的圓心在線段 MN 的垂直平分線 y=3－x 上，設圓心為S（a，3－a） ，則圓 S 的方程為： 222()(3)()xaya????對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經(jīng)過 M，N，P 三點的圓 S 必與 X 軸相切于點 P，即圓 S 的方程中的 a 值必須滿足 解得 a=1 或 a=－7。22(1)(3,a??即對應的切點分別為 ，而過點 M，N， 的圓的半徑大于過點39。,07)?和 39。pM，N，P 的圓的半徑，所以 ，故點 P（1，0）為所求，所以點 P 的39。??橫坐標為 1。三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）1一項“過關游戲” 規(guī)則規(guī)定：在第 n 關要拋擲一顆骰子 n 次，如果這 n 次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于 ，則算過關。問：2n（Ⅰ）某人在這項游戲中最多能過幾關？（Ⅱ）他連過前三關的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有 1，2，3，4，5，6 點數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)。 ）解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。河大附中校本課程 6 （Ⅰ）因骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為 6，而 ，因此，當 時，n 次452,6???5?出現(xiàn)的點數(shù)之和大于 已不可能。即這是一個不可能事件，過關的概率為 0。所以最多2n只能連過 4 關。 .......5 分（Ⅱ）設事件 為“第 n 關過關失敗”，則對立事件 為“第 n 關過關成功”。AA第 n 關游戲中，基本事件總數(shù)為 個。6n第 1 關：事件 所含基本事件數(shù)為 2（即出現(xiàn)點數(shù)為 1 和 2 這兩種情況） ，1過此關的概率為： 。?11()()63PA???第 2 關：事件 所含基本事件數(shù)為方程 當 a 分別取 2，3，4 時的正整數(shù)解組2 xy?數(shù)之和。即有 （個） 。1132C?過此關的概率為： 。 ........10 分265()()1PA???第 3 關：事件 所含基本事件為方程 當 a 分別取 3，4，5，6，7，8 時的3xyz?正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個） 。222345671360152CC????過此關的概率為： 。 .........15 分?33()()7PA?故連過前三關的概率為： 。 ........20 分12022243PA??（說明：第 2，3 關的基本事件數(shù)也可以列舉出來）1在平面直角坐標系 xoy 中，給定三點 ，點 P 到直線 BC 的4(0,),(,)3BC?距離是該點到直線 AB，AC 距離的等比中項。（Ⅰ）求點 P 的軌跡方程；（Ⅱ）若直線 L 經(jīng)過 的內(nèi)心（設為 D） ，且與 P 點的軌跡恰好有 3 個公共點，求ABC?L 的斜率 k 的取值范圍。解：（Ⅰ）直線 AB、AC、BC 的方程依次為 。點44(1),(1),03yxyxy????到 AB、AC、BC 的距離依次為(,)Pxy高中數(shù)學競賽講義 7 。依設，1231|43|,|4|,|55d