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2004-2006全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案(已修改)

2025-01-25 23:52 本頁面
 

【正文】 20222022 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答河南大學(xué)附中目錄 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………1 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)……………10 高中數(shù)學(xué)競賽講義 1 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(本題滿分 36 分,每小題 6 分)設(shè)銳角 使關(guān)于 x 的方程 有重根,則 的弧度數(shù)為( )?24cost0x????A. B. C. D. 6?51or?5612r?12解:因方程 有重根,故24cst0x??cos4t0??? 得0,t(in2)??????sin??,于是 。 故選 B。526??或 512?或已知 。若對(duì)所有2{(,)|3},{(,)|}MxyNxymb???,則 b 的取值范圍是( ),mRN????均 有A. B. C. D. 6,2???????6,2???????23(,]?23,???????解: 相當(dāng)于點(diǎn)(0,b)在橢圓 上或它的內(nèi)部M?2xy??。 故選 A。261,32????不等式 的解集為( )3212logl0xx??A. B. C. D. [,)(,][,4)(2,4]解:原不等式等價(jià)于,設(shè)2231log1l00xx???????? 22310log1,txt??????????則 有解得 。即 。 故選 C。t??2log,4????河大附中校本課程 2 設(shè) O 點(diǎn)在 內(nèi)部,且有 ,則 的面積與 的ABC?230OABC??????AB?OC面積的比為( )A. 2 B. C. 3 D. 25解:如圖,設(shè) D,E 分別是 AC,BC 邊的中點(diǎn),則由(1) (2)得,()2()4ACOB??????,3()0O????即 共線,且 , 故選DE??與 332|2| ,2AECABCOOSSD??????C。設(shè)三位數(shù) ,若以 a,b,c 為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形,n?則這樣的三位數(shù) n 有( )A. 45 個(gè) B. 81 個(gè) C. 165 個(gè) D. 216 個(gè)解:a,b,c 要能構(gòu)成三角形的邊長,顯然均不為 0。即 ,{1,}abc?(1)若構(gòu)成等邊三角形,設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ,由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同,1n所以, 。19nC?(2)若構(gòu)成等腰(非等邊)三角形,設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ,由于三位數(shù)中只有22 個(gè)不同數(shù)碼,為 a、b,因三角形腰與底可以置換,所以可取的數(shù)碼組(a,b)共有。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí),設(shè) ab,必須滿足 。此時(shí),不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼9 ba?是a 9 8 7 6 5 4 3 2 1b 4,32,1 4,32,1 3,21 3,21 1,2 1,2 1 1共 20 種情況。同時(shí),每個(gè)數(shù)碼組(a,b)中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位,有 種情況。23C故 。 綜上, 。22399(0)6(1)56nCC???1265n??OB CAED高中數(shù)學(xué)競賽講義 3 頂點(diǎn)為 P 的圓錐的軸截面是等腰直角三角形,A 是底面圓周上的點(diǎn),B 是底面圓內(nèi)的點(diǎn),O 為底面圓的圓心, ,垂足為 B, ,垂足為 H,且BO?P?PA=4,C 為 PA 的中點(diǎn),則當(dāng)三棱錐 O-HPC 的體積最大時(shí),OB 的長是( )A. B. C. D. 5325363263解: ,ABPABHPB????又。C 是 PA 中點(diǎn),POHO?面 面 OCPA??最大,CHS??當(dāng) 時(shí)也即 最大。OPCHOV??此時(shí),002,326tan3PBP??????1故 =故選 D。二、填空題(本題滿分 54 分,每小題 9 分)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,函數(shù) 在一個(gè)最小正周期()sinco(0)fxaxa???長的區(qū)間上的圖像與函數(shù) 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是 2()1g。解: ,它的最小正周期為 ,振幅為2()1sin(),arctnfxax????其 中 2a?。由 的圖像與 的圖像圍成的封閉圖形的對(duì)稱性,可將這圖形割補(bǔ)成2fg長為 、寬為 的長方形,故它的面積是 。a?2 21a??設(shè)函數(shù) ,且對(duì)任意:,(0)1fRf??滿 足 ,xyR?都 有,則 =___________________。(1)()2fxyyx????()f解: ,( 2,ffyx?????對(duì) 有PAB OHC河大附中校本課程 4 (1)()(2fxyfxfy?????有= )(xfy?即 。()(),0,1fxyfxy?令 得如圖、正方體 中,二面角 的度數(shù)是________。1ABCD?1ABD解:連結(jié) ,垂足為 E,延長 CE 交 于 F,則 ,連結(jié)1,?作 1EB?AE,由對(duì)稱性知 是二面角 的平面角。1,EF??1?連結(jié) AC,設(shè) AB=1,則 12,??中, ,1RtABD?在 1?在△AEC 中, 222413cos ????????ECAEC的補(bǔ)角, 。01,AF??而 是 06FEA?設(shè) p 是給定的奇質(zhì)數(shù),正整數(shù) k 使得 也是一個(gè)正整數(shù),則 k=____。2pk?解:設(shè) ,從而22*224,0,nknNn??????則是平方數(shù),設(shè)為24p?* 2,()mmp?則 22113,4npppn???????????????是 質(zhì) 數(shù) , 且 解 得。 (負(fù)值舍去)22(1)(1),244pmkk????故CED1 C1A1 B1A BDF高中數(shù)學(xué)競賽講義 5 1已知數(shù)列 滿足關(guān)系式 ,則012,.,.na10(3)68,3nnaa???且的值是_________________________。1nio??解:設(shè) 1,01,2.(3)(68,n nnbab????則即 1 ,2()3n nb? ???故數(shù)列 是公比為 2 的等比數(shù)列,{}b。11002()()(2)333nnnnn ba???????。??11 2022()()(3nni niioba? ????????????1在平面直角坐標(biāo)系 XOY 中,給定兩點(diǎn) M(-1,2)和 N(1,4) ,點(diǎn) P 在 X 軸上移動(dòng),當(dāng) 取最大值時(shí),點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為___________________。MPN?解:經(jīng)過 M、N 兩點(diǎn)的圓的圓心在線段 MN 的垂直平分線 y=3-x 上,設(shè)圓心為S(a,3-a) ,則圓 S 的方程為: 222()(3)()xaya????對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值時(shí),經(jīng)過 M,N,P 三點(diǎn)的圓 S 必與 X 軸相切于點(diǎn) P,即圓 S 的方程中的 a 值必須滿足 解得 a=1 或 a=-7。22(1)(3,a??即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為 ,而過點(diǎn) M,N, 的圓的半徑大于過點(diǎn)39。,07)?和 39。pM,N,P 的圓的半徑,所以 ,故點(diǎn) P(1,0)為所求,所以點(diǎn) P 的39。??橫坐標(biāo)為 1。三、解答題(本題滿分 60 分,每小題 20 分)1一項(xiàng)“過關(guān)游戲” 規(guī)則規(guī)定:在第 n 關(guān)要拋擲一顆骰子 n 次,如果這 n 次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于 ,則算過關(guān)。問:2n(Ⅰ)某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)?(Ⅱ)他連過前三關(guān)的概率是多少?(注:骰子是一個(gè)在各面上分別有 1,2,3,4,5,6 點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后,向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。 )解:由于骰子是均勻的正方體,所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。河大附中校本課程 6 (Ⅰ)因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為 6,而 ,因此,當(dāng) 時(shí),n 次452,6???5?出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于 已不可能。即這是一個(gè)不可能事件,過關(guān)的概率為 0。所以最多2n只能連過 4 關(guān)。 .......5 分(Ⅱ)設(shè)事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)失敗”,則對(duì)立事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)成功”。AA第 n 關(guān)游戲中,基本事件總數(shù)為 個(gè)。6n第 1 關(guān):事件 所含基本事件數(shù)為 2(即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為 1 和 2 這兩種情況) ,1過此關(guān)的概率為: 。?11()()63PA???第 2 關(guān):事件 所含基本事件數(shù)為方程 當(dāng) a 分別取 2,3,4 時(shí)的正整數(shù)解組2 xy?數(shù)之和。即有 (個(gè)) 。1132C?過此關(guān)的概率為: 。 ........10 分265()()1PA???第 3 關(guān):事件 所含基本事件為方程 當(dāng) a 分別取 3,4,5,6,7,8 時(shí)的3xyz?正整數(shù)解組數(shù)之和。即有(個(gè)) 。222345671360152CC????過此關(guān)的概率為: 。 .........15 分?33()()7PA?故連過前三關(guān)的概率為: 。 ........20 分12022243PA??(說明:第 2,3 關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來)1在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,給定三點(diǎn) ,點(diǎn) P 到直線 BC 的4(0,),(,)3BC?距離是該點(diǎn)到直線 AB,AC 距離的等比中項(xiàng)。(Ⅰ)求點(diǎn) P 的軌跡方程;(Ⅱ)若直線 L 經(jīng)過 的內(nèi)心(設(shè)為 D) ,且與 P 點(diǎn)的軌跡恰好有 3 個(gè)公共點(diǎn),求ABC?L 的斜率 k 的取值范圍。解:(Ⅰ)直線 AB、AC、BC 的方程依次為 。點(diǎn)44(1),(1),03yxyxy????到 AB、AC、BC 的距離依次為(,)Pxy高中數(shù)學(xué)競賽講義 7 。依設(shè),1231|43|,|4|,|55d
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