【正文】 ，3－a） ，則圓 S 的方程為： 222()(3)()xaya????對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過 M，N，P 三點(diǎn)的圓 S 必與 X 軸相切于點(diǎn) P，即圓 S 的方程中的 a 值必須滿足 解得 a=1 或 a=－7。 （負(fù)值舍去）22(1)(1),244pmkk????故CED1 C1A1 B1A BDF高中數(shù)學(xué)競賽講義 5 1已知數(shù)列 滿足關(guān)系式 ，則012,.,.na10(3)68,3nnaa???且的值是_________________________。1ABCD?1ABD解：連結(jié) ，垂足為 E，延長 CE 交 于 F，則 ，連結(jié)1,?作 1EB?AE，由對稱性知 是二面角 的平面角。由 的圖像與 的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補(bǔ)成2fg長為 、寬為 的長方形，故它的面積是 。C 是 PA 中點(diǎn)，POHO?面 面 OCPA??最大，CHS??當(dāng) 時(shí)也即 最大。同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有 種情況。即 ,{1,}abc?（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，1n所以， 。即 。526??或 512?或已知 。 故選 B。261,32????不等式 的解集為（ ）3212logl0xx??A. B. C. D. [,)(,][,4)(2,4]解：原不等式等價(jià)于，設(shè)2231log1l00xx???????? 22310log1,txt??????????則 有解得 。設(shè)三位數(shù) ，若以 a，b，c 為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，n?則這樣的三位數(shù) n 有（ ）A. 45 個(gè) B. 81 個(gè) C. 165 個(gè) D. 216 個(gè)解：a，b，c 要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為 0。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼9 ba?是a 9 8 7 6 5 4 3 2 1b 4，32，1 4，32，1 3，21 3，21 1，2 1，2 1 1共 20 種情況。22399(0)6(1)56nCC???1265n??OB CAED高中數(shù)學(xué)競賽講義 3 頂點(diǎn)為 P 的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A 是底面圓周上的點(diǎn)，B 是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O 為底面圓的圓心， ，垂足為 B， ，垂足為 H，且BO?P?PA=4，C 為 PA 的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐 O－HPC 的體積最大時(shí)，OB 的長是（ ）A. B. C. D. 5325363263解： ,ABPABHPB????又。解： ，它的最小正周期為 ，振幅為2()1sin(),arctnfxax????其 中 2a?。()(),0,1fxyfxy?令 得如圖、正方體 中，二面角 的度數(shù)是________。2pk?解：設(shè) ，從而22*224,0,nknNn??????則是平方數(shù)，設(shè)為24p?* 2,()mmp?則 22113,4npppn???????????????是 質(zhì) 數(shù) ， 且 解 得。??11 2022()()(3nni niioba? ????????????1在平面直角坐標(biāo)系 XOY 中，給定兩點(diǎn) M（－1，2）和 N（1，4） ，點(diǎn) P 在 X 軸上移動(dòng)，當(dāng) 取最大值時(shí)，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為___________________。pM，N，P 的圓的半徑，所以 ，故點(diǎn) P（1，0）為所求，所以點(diǎn) P 的39。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。所以最多2n只能連過 4 關(guān)。?11()()63PA???第 2 關(guān)：事件 所含基本事件數(shù)為方程 當(dāng) a 分別取 2，3，4 時(shí)的正整數(shù)解組2 xy?數(shù)之和。即有（個(gè)） 。（Ⅰ）求點(diǎn) P 的軌跡方程；（Ⅱ）若直線 L 經(jīng)過 的內(nèi)心（設(shè)為 D） ，且與 P 點(diǎn)的軌跡恰好有 3 個(gè)公共點(diǎn)，求ABC?L 的斜率 k 的取值范圍。 的內(nèi)心 D 也是適合題設(shè)條A?件的點(diǎn)，由 ，解得 ，且知它在圓 S 上。代入方程②得 ，解得 。即方程組 有且只有一287180xyk????????組實(shí)數(shù)解，消去 y 并化簡得 25(817)04kx?河大附中校本課程 8 該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④28170k??或 ⑤225(5)4(817)0kk???解方程④得 ，解方程⑤得 。1236(tan)(t)(tan)4ggu??則解：（Ⅰ）設(shè) 2211,0,410,xxtxt????????則221224()()()t?????則 ??11212122()() xtxxfxf???又 1212121221()0()0tt ff???????故 在區(qū)間 上是增函數(shù)。BC=AC 211121 )3(),(9)( nnnn aaa???????④記 ???? ???? 211321 )[()())(,3()( nnnnn faaf 由 ,079]3121 ???nnn從而 ④)()()aff??? ?,1)3(2是完全平方數(shù).……………………20 分1??ma14．將編號為 1，2，…，9 的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上 S 達(dá)到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）解：九個(gè)編號不同的小球放在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每點(diǎn)放一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不同高中數(shù)學(xué)競賽講義 19 元素在圓周上的一個(gè)圓形排列，故共有 8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有 種.…………5 分2!8下求使 S 達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從 1 到 9 有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設(shè) 是依次排列于這段弧上的小球號碼，ix,21?則 .8|91|)()()|9|||| 211 ???????? ixxx ??上式取等號當(dāng)且僅當(dāng) ，即每一弧段上的小球編號都是由 12??ix?到 9 遞增排列.因此 S 最小 =2（注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為旁心。2121 （2）再證 DF 過△ABC 的一個(gè)旁心.連 FD 并延長交∠ABC 的外角平分線于 I1，連 IIB I B I，由（1）知，I 為內(nèi)心，∴∠IBI1=90176。由 ，推出BC????ABt??　 ,令 ，代入上式，得222tt?????????2????tC ，即 , 222cosBABA22sinBAC????也即 。要使 ，則50xa??5x?60b??6x??2,34ABN??，即 。因?yàn)?，所以 ，由此推出 2E????GDt????EF?1??。0ab??6. 數(shù)碼 中有奇數(shù)個(gè) 9 的 2022 位十進(jìn)制數(shù) 的個(gè)數(shù)為123206,? 12306a? A． B． C． D． 06(8)2061(8)?2068?28?【答】 （ B ） 【解】出現(xiàn)奇數(shù)個(gè) 9 的十進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)有。令 ，則21sini2x???sin2tx?。5[, ]?河大附中校本課程 28 9. 已知橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 與 ，點(diǎn) P 在直線 l：2164xy??1F2上. 當(dāng) 取最大值時(shí)，比 的值為 .3820xy???12FP?2【解】由平面幾何知，要使 最大，則過 ,P 三點(diǎn)的圓必定和直線 l 相切于1212P 點(diǎn)。則 ABCD 是一個(gè)邊長為 的正方形。32050,x?? 1?但是 時(shí)，不滿足原方程。12?nxy?204ny???0xn??若 為拋物線 與直線 的一個(gè)交點(diǎn)，則 .（10 分）),(0myx2kxyxy01mkx?記 ，則 ，　 　　　01mkx??1011()mmmkxknk????(2)?（）由于 是整數(shù)， 也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)1kn22200()kxx?河大附中校本課程 30 歸納法，通過（）式可證明對于一切正整數(shù) ， 是正整數(shù). 現(xiàn)在對m01mkx??于任意正整數(shù) ，取 ，使得 與 的交點(diǎn)為 . m01mkx??2?yy),(0myx（20 分）14. 將 2022 表示成 5 個(gè)正整數(shù) 之和. 記 . 問：12345,xx15ijijSx????（1）當(dāng) 取何值時(shí)，S 取到最大值；12345,x（2）進(jìn)一步地，對任意 有 ，當(dāng) 取何值時(shí)，S1,ij?2ijx?12345,xx取到最小值. 說明理由.【解】 （1） 首先這樣的 S 的值是有界集，故必存在最大值與最小值。2123453454()x????于是有 。 ……………………（15 分）而后面兩種情形是在第一組情形下作 ， 調(diào)整下得到的。 ……………（5 分）2??1(0)|fa??（２）如果 ，由題意 ， , . 則124a???12()(0)nnffa??3,??① 當(dāng) 時(shí)， （ ）. 事實(shí)上，當(dāng) 時(shí)，0()2nf???1n, 設(shè) 時(shí)成立（ 為某整數(shù)） ，則對 ，1(0)2f?1nk?knk .2211(0)4kkffa???????????② 當(dāng) 時(shí)， （ ）.事實(shí)上，當(dāng) 時(shí)， , ?()nfn??1n?1(0)fa?設(shè) 時(shí)成立（ 為某整數(shù)） ，則對 ，有1nk?2k?k.注意到 當(dāng) 時(shí),總有??212|(0)()affa??????2??，即 . 從而有 .由歸納法，推出 22| (0)|kfa?。當(dāng) 時(shí)， ，1()???a?1()2na???即 。在 的延長線上任取點(diǎn) ，以 為圓心， 為半徑作圓弧(0,1)iC?0AP0P