【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 為矩形， ∴∠ BAE=∠ DCE， AB=CD， 在 △ AEB 和 △ CED 中， 第 20 頁（共 48 頁） ， ∴△ AEB≌△ CED（ AAS）， ∴ BE=DE， ∴△ EBD 為等腰三角形． （ 2）全等三角形有： △ EAB≌△ EC39。D； △ ABD≌△ CDB； △ CDB≌△ C39。DB； △ ABD≌△ C39。DB； （ 3） △ DC′E 的周長(zhǎng) =C39。D+C39。E+ED=AB+AE+ED=AB+AD=6+8=14． 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。， BE 是中線，延長(zhǎng) BC 到 D，使 CD=CE，連接 DE，若 △ ABC 的周長(zhǎng)是 24， BE=a，則 △ BDE 的周長(zhǎng)是多少？ 【考點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。，可得 △ ABC 的形狀，再根據(jù) △ ABC的周長(zhǎng)是 24，可得 AB=BC=AC=8，根據(jù) BE 是中線，可得 CE 的長(zhǎng)， ∠ EBC=30176。，根據(jù) CD=CE，可得 ∠ D=∠ CED，根據(jù) ∠ ACB=60176。，可得 ∠ D，根據(jù) ∠ D 與 ∠ EBC，可得 BE 與 DE 的關(guān)系，可得答案． 【解答】 解： ∵ 在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。， ∴△ ABC 是等邊三角形， ∵△ ABC 的周長(zhǎng)是 24， ∴ AB=AC=BC=8， ∵ BE 是中線， ∴ CE= AC=4， ∠ EBC= ∠ ABC=30176。， ∵ CD=CE， ∴∠ D=∠ CED， ∵∠ ACB 是 △ CDE 的一個(gè)外角， 第 21 頁（共 48 頁） ∴∠ D+∠ CED=∠ ACB=60176。 ∴∠ D=30176。， ∴∠ D=∠ EBC， ∴ BE=DE=a， ∴△ BED 周長(zhǎng)是 DE+BE+BD=a+a+（ 8+4） =2a+12． 22．如圖 1， AD 平分 ∠ BAC， ∠ B+∠ C=180176。， ∠ B=90176。，易知： DB=DC． （ 1）如圖 2， AD 平分 ∠ BAC， ∠ ABD+∠ ACD=180176。， ∠ ABD＜ 90176。．求證： DB=DC． （ 2）如圖 3，四邊形 ABCD 中， ∠ B=60176。， ∠ C=120176。， DB=DC=2，則 AB﹣ AC=？ 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）證明 △ DFC≌△ DEB 即可． （ 2）先證明 △ DFC≌△ DEB，再證明 △ ADF≌△ ADE，結(jié)合 BD 與 EB 的關(guān)系即可解決問題． 【解答】 （ 1）證明：如圖 ② 中， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F， ∵ DA 平分 ∠ BAC， DE⊥ AB， DF⊥ AC， ∴ DE=DF， ∵∠ B+∠ ACD=180176。， ∠ ACD+∠ FCD=180176。， ∴∠ B=∠ FCD， 在 △ DFC 和 △ DEB 中， ， ∴△ DFC≌△ DEB， ∴ DC=DB． （ 2）解：如圖 ③ 連接 AD、 DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F， ∵∠ B+∠ ACD=180176。， ∠ ACD+∠ FCD=180176。， ∴∠ B=∠ FCD， 第 22 頁（共 48 頁） 在 △ DFC 和 △ DEB 中， ， ∴△ DFC≌△ DEB， ∴ DF=DE， CF=BE， 在 Rt△ ADF 和 Rt△ ADE 中， ， ∴△ ADF≌△ ADE， ∴ AF=AE， ∴ AB﹣ AC=（ AE+BE）﹣（ AF﹣ CF） =2BE， 在 Rt△ DEB 中， ∵∠ DEB=90176。， ∠ B=∠ EDB=60176。， BD=2， ∴ BE=1， ∴ AB﹣ AC=2． 23．（ 1）發(fā)現(xiàn)：如圖 1，點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b． ① 填空：當(dāng)點(diǎn) A 位于 CB 的延長(zhǎng)線上 時(shí)，線段 AC 的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 a+b （用含 a， b 的式子表示） （ 2）應(yīng)用：點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=3， AB=1，如圖 2 所示，分別以 AB、AC 為邊，作等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，連接 CD， BE． ① 請(qǐng)找出圖中與 BE 相等的線段，并說明理由； ② 直接寫出線段 BE 長(zhǎng)的最大值． 第 23 頁（共 48 頁） 【考點(diǎn)】 三角形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b，可得當(dāng)點(diǎn) A 位于CB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段 AC 的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 BC+AB=a+b； （ 2） ① 根據(jù)等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，可得 △ CAD≌△ EAB（ SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 CD=BE； ② 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，線段 BE 長(zhǎng)的最大值 =線段 CD 長(zhǎng)的最大值，而當(dāng)線段 CD 的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上，此時(shí) CD=3+1=4，可得 BE=4． 【解答】 解 ：（ 1）如圖 1， ∵ 點(diǎn) A 為線段 BC 外一動(dòng)點(diǎn)，且 BC=a， AB=b， ∴ 當(dāng)點(diǎn) A位于 CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段 AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 BC+AB=a+b． 故答案為： CB 的延長(zhǎng)線上， a+b； （ 2） ① CD=BE． 理由：如圖 2， ∵ 等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE， ∴ AD=AB， AC=AE， ∠ BAD=∠ CAE=60176。， ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC， 即 ∠ CAD=∠ EAB， 在 △ CAD 和 △ EAB 中， ， ∴△ CAD≌△ EAB（ SAS）， ∴ CD=BE； ② 線段 BE 長(zhǎng)的最大值為 4． 理由： ∵ 線段 BE 長(zhǎng)的最大值 =線段 CD 長(zhǎng)的最大值， ∴ 當(dāng)線段 CD 的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上， 第 24 頁（共 48 頁） 此時(shí) CD=3+1=4， ∴ BE=4． 八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．下列四根木棒中，能與 5cm， 8cm 長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ） A． 3cm B． 8cm C． 13cm D． 15cm 2．在 △ ABC 中， ∠ B=2∠ A﹣ 10176。， ∠ C=∠ B+50176。．則 ∠ A 的度數(shù)為（ ） A． 10176。 B． 20176。 C． 30176。 D． 40176。 3．從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有對(duì)角線的條數(shù)是（ ） A．（ n﹣ 1） B． n﹣ 2 C．（ n﹣ 3） D．（ n﹣ 4） 4．如圖，已知 AB∥ CD， ∠ B=60176。， ∠ E=25176。，則 ∠ D 的度數(shù)為（ ） A． 25176。 B． 35176。 C． 45176。 D． 55176。 5．如圖，已知 AB=DE， BC=EF，若利用 “SSS”證明 △ ABC≌△ DEF，還需要添加的一個(gè)條件是（ ） 第 25 頁（共 48 頁） A． AF=DC B． AF=FD C． DC=CF D． AC=DF 6．下列條件中，能作出唯一三角形的是（ ） A．已知兩邊和一角 B．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 C．已知兩角和一邊 D．已知三個(gè)角 7．在 △ ABC 和 △ A′B′C′中，已知條件： ① AB=A′B′； ② BC=B′C′； ③ AC=A′C′④∠ A=∠ A′； ⑤∠ B=∠ B′； ⑥∠ C=∠ C′．下列各組條件中不能保證 △ ABC≌△ A′B′C′的是（ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ③⑤⑥ 8．如圖，已知 AB=CD， AD∥ BC， ∠ ABC=∠ DCB，則圖中共有全等三角形（ ） A． 2 對(duì) B． 3 對(duì) C． 4 對(duì) D． 5 對(duì) 9．如圖， △ ABC 中， AB=AC， AD 是 ∠ BAC 的平分線， DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分別是 E、 F，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（ ） （ 1） AD 上任意一點(diǎn)到 C、 B 的距離相等； （ 2） AD 上任意一點(diǎn)到 AB、 AC 的距離相等； （ 3） BD=CD， AD⊥ BC； （ 4） ∠ BDE=∠ CDF． A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 第 26 頁（共 48 頁） 10．下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的有（ ） A． B． C． D． 11．如圖所示，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=36176。， BD、 CE 分別為 ∠ ABC 與 ∠ ACB的角平分線且相交于點(diǎn) F，則圖中的等腰三角形有（ ） A． 6 個(gè) B． 7 個(gè) C． 8 個(gè) D． 9 個(gè) 12．如圖，已知 AB=AC， AE=AF， BE 與 CF 交于點(diǎn) D，則 ①△ ABE≌△ ACF， ②△BDF≌△ CDE， ③ D 在 ∠ BAC 的平分線上，以上結(jié)論中，正確的是（ ） A．只有 ① B．只有 ② C．只有 ① 和 ② D． ① ， ② 與 ③ 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 13．從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的所有對(duì)角線，把多邊形分割成 5 個(gè)三角形，則此多邊形是 邊形． 14．若一個(gè)八邊形的七個(gè)內(nèi)角的和為 1000176。，則第八個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 ． 15．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 70176。，另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 ． 16．若點(diǎn) P（ 2a+b，﹣ 3a）與點(diǎn) Q（ 8， b+2）關(guān)于 x 軸對(duì)稱，則 a= ， b= ． 17．如圖，在 △ ABC 中，點(diǎn) D 在 AC 上，點(diǎn) E 在 BD 上，若 ∠ A=70176。， ∠ ABD=22176。，∠ DCE=25176。，則 ∠ BEC= ． 第 27 頁（共 48 頁） 18．如圖，已知 AB∥ CD， AD∥ BC， BF=DE，則圖中的全等三角形有 對(duì)． 三、解答題（本大題共 6 小題，共 46 分 .） 19．（ 6 分）如圖，直線 l 是一條河， A、 B 是兩個(gè)村莊，欲在 l 上的某處修建一個(gè)水泵站 M，向 A、 B 兩地供水，要使所需管道 MA+MB 的 長(zhǎng)度最短，在圖中標(biāo)出 M 點(diǎn)（不寫作法，不要求證明，保留作圖痕跡） 20．（ 6 分）如圖，在 △ ABC 中， AD 是高， AE， BF 是角平分線，它們相交于點(diǎn)O， ∠ BAC=70176。， ∠ C=50176。．求 ∠ DAC 和 ∠ BOA 的度數(shù)． 21．（ 8 分）如圖，已知 AB=AE， ∠ BAE=∠ CAD， AC=AD，求證： BC=ED． 第 28 頁（共 48 頁） 22．（ 8 分）如圖， ∠ B=∠ D，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不得添加輔助線），使得 △ ABC≌△ ADC，并說明理由． 23．（ 8 分）如圖，點(diǎn) P 為銳角 ∠ ABC 內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) M 在邊 BA 上，點(diǎn) N 在邊 BC上且 PM=PN， ∠ BMP+∠ BNP=180176。．求證： BP 平分 ∠ ABC． 24．（ 10 分）如圖，已知在 △ ABC 中， AB=AC， D 是 BC 邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) D分別向 AB， AC 引垂線，垂足分別為 E， F． （ 1）當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 的什么位置時(shí)， DE=DF？并證明； （ 2）過點(diǎn) C 作 AB 邊上的高 CG，試猜想 DE， DF， CG 的長(zhǎng)之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論） 第 29 頁（共 48 頁） 第 30 頁（共 48 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．下列四根木棒中，能與 5cm， 8cm 長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ） A． 3cm B． 8cm C． 13cm D． 15cm 【考點(diǎn)】 三角形三邊關(guān)系． 【分析】 判定三條線段能否構(gòu)成三角形，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判