【文章內(nèi)容簡介】 據(jù)， x1， x2， …x n的平均數(shù)為 ，則方差 S2= [（ x1﹣ ） 2+（ x2﹣ ） 2+… +（ xn﹣ ） 2]． 24．如圖，長方體的長為 15cm，寬為 10cm，高為 20cm，點(diǎn) B距離 C點(diǎn) 5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn) B，徐亞爬行的最短距離是 25 cm． 【考點(diǎn)】平面展開 最短路徑問題． 【分析】要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答． 【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第 1 個(gè)圖： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B離點(diǎn) C的距離是 5， ∴ BD=CD+BC=10+5=15， AD=20， 在直角三角形 ABD中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB= ； 只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第 2個(gè)圖： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B離點(diǎn) C的距離是 5， 第 21 頁（共 54 頁） ∴ BD=CD+BC=20+5=25， AD=10， 在直角三角形 ABD中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB= ； 只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第 3個(gè)圖： ∵ 長方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B離點(diǎn) C的距離是 5， ∴ AC=CD+AD=20+10=30， 在直角三角形 ABC中，根據(jù)勾股定理得： ∴ AB= ； ∵ 25＜ 5 ， ∴ 螞蟻爬行的最短距離是 25． 故答案為： 25 【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答． 25．設(shè)四邊形 ABCD 是邊長為 1 的正方形，以正方形 ABCD 的對角線 AC 為邊作第二個(gè)正方形 ACEF， 第 22 頁（共 54 頁） 再以第二個(gè)正方形的對角線 AE 為邊作第三個(gè)正方形 AEGH，如此下去 … 根據(jù)以上規(guī)律，第 n 個(gè)正方形的邊長 an= ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】首先求出 AC、 AE、 HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題． 【解答】解： ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ AB=BC=1， ∠ B=90176。 ， ∴ AC2=12+12， AC= ； 同理可求： AE=（ ） 2， HE=（ ） 3… ， ∴ 第 n個(gè) 正方形的邊長 an= ． 故答案為 ． 【點(diǎn)評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運(yùn)用． 六、解答題（共 30分） 26．某食品加工廠需要一批食品包裝盒，供應(yīng)這樣包裝盒有兩種方案可供選擇： 方案一：從包裝盒加工廠直接購買，購買所需的費(fèi) y1與包裝盒數(shù) x滿足如圖 1所示的函數(shù)關(guān)系． 方案二：租賃機(jī)器自己加工，所需費(fèi)用 y2（包括租賃機(jī)器的費(fèi)用和生產(chǎn)包裝盒的費(fèi)用）與包裝盒數(shù)x 滿足如圖 2所示的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象回答下列問題： 第 23 頁（共 54 頁） （ 1）方案一中每個(gè)包裝盒的價(jià)格是多少元？ （ 2）方案二中租賃機(jī)器的費(fèi)用是多少元？生產(chǎn)一個(gè)包裝盒的費(fèi)用是多少元？ （ 3）請分別求出 y y2與 x的函數(shù)關(guān)系式． （ 4）如果你是決策者，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案更省錢？并說明理由． 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（ 1）根據(jù)單價(jià) =總價(jià) 247。 數(shù)量即可求出方案一中每個(gè)包裝盒的價(jià)格； （ 2）由 x=0時(shí) y=2022即可得出租賃機(jī)器的費(fèi)用，再根據(jù)單價(jià) =總價(jià) 247。 數(shù)量即可求出方案二中生產(chǎn)一個(gè)包裝盒的費(fèi)用； （ 3）根據(jù)總價(jià) =單價(jià) 數(shù)量（總價(jià) =單價(jià) 數(shù)量 +租賃機(jī)器費(fèi)用）即可得出 y y2與 x的函數(shù)關(guān)系式； （ 4）分別令 y1＜ y2和 y1＞ y2，求出不等式的解集結(jié)合 x為正整數(shù)即可得出結(jié)論． 【解答】解：（ 1） 500247。 100=5（元 /盒）． 答：方案一中每個(gè)包裝盒的價(jià)格是 5元． （ 2）當(dāng) x=0時(shí)， y=2022， ∵ （ 3000﹣ 2022） 247。 4000= （元 /盒）， ∴ 方案二中租賃機(jī)器的費(fèi)用是 2022元，生產(chǎn)一個(gè)包裝盒的費(fèi)用是 元． （ 3）根據(jù)題意得： y1=5x， y2= x+2022． （ 4）令 y1＜ y2，即 5x＜ x+2022， 解得： x＜ ， ∵ x為正整數(shù)， ∴ 0＜ x≤ 421； 第 24 頁（共 54 頁） 令 y1＞ y2，即 5x＞ x+2022， 解得： x＞ ， ∵ x為正整數(shù)， ∴ x≥ 422． 綜上所述：當(dāng) 0＜ x≤ 421時(shí)選擇方案一省錢；當(dāng) x≥ 422時(shí)選擇方案二省錢． 【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵． 27．如圖，在矩形 ABCD中， AB=4cm， BC=8cm，點(diǎn) P從點(diǎn) D出發(fā)向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A即停止；同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn) B出發(fā)向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C即停止．點(diǎn) P、 Q的速度的速度都是 1cm/s，連結(jié) PQ， AQ，CP，設(shè)點(diǎn) P、 Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（ s）． （ 1）當(dāng) t為何值時(shí)，四邊形 ABQP是矩形？ （ 2）當(dāng) t為何值時(shí)，四邊形 AQCP是菱形？ （ 3）分別求出（ 2）中菱形 AQCP的周長和面積． 【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 【專題】動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】（ 1）當(dāng)四邊形 ABQP 是矩形時(shí)， BQ=AP，據(jù)此求得 t的值； （ 2）當(dāng)四邊形 AQCP是菱形時(shí)， AQ=AC，列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t； （ 3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長 =4t，面積 =矩形的面積﹣ 2個(gè)直角三角形的面積． 【解答】解：（ 1）當(dāng)四邊形 ABQP是矩形時(shí)， BQ=AP，即： t=8﹣ t， 解得 t=4． 答：當(dāng) t=4時(shí)，四邊形 ABQP 是矩形； （ 2）設(shè) t秒后，四邊形 AQCP是菱形 當(dāng) AQ=CQ，即 =8﹣ t時(shí)，四邊形 AQCP為菱形． 解得： t=3． 第 25 頁（共 54 頁） 答：當(dāng) t=3時(shí)，四邊形 AQCP 是菱形； （ 3）當(dāng) t=3時(shí)， CQ=5，則周長為： 4CQ=20cm， 面積為： 4 8﹣ 2 3 4=20（ cm2）． 【點(diǎn)評】本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)．解決此題注意結(jié)合方程的思想解題． 28．直線 y=﹣ x+4 與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) B，菱形 ABCD 如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn) D在 x軸負(fù)半軸上，直線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) C，交 x 軸于點(diǎn) E． ① 請直接寫出點(diǎn) C、點(diǎn) D的坐標(biāo)，并求出 m的值； ② 點(diǎn) P（ 0， t）是線段 OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P不與 0、 B重合）， 經(jīng)過點(diǎn) P 且平行于 x 軸的直線交 AB 于 M、交 CE 于 N．設(shè)線段 MN 的長度為 d，求 d 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）； ③ 當(dāng) t=2時(shí)，線段 MN， BC， AE之間有什么關(guān)系？（寫出過程） 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）由直線的解析式可求出 A和 B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn) C、點(diǎn) D的坐標(biāo)，把點(diǎn) C的坐標(biāo)代入直線 y=x+m即可求出 m的值； （ 2）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ xM， t），點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ xN， t），首先求出 xM=﹣ t+3，再求出 xN=t﹣ 9，進(jìn)而得到 d=xM﹣ xN=﹣ t+3﹣（ t﹣ 9） =﹣ t+12； （ 3）先求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn) P 是 OB 中點(diǎn)，即可得出 MN 是梯形 ABCE 的中位線即可得出結(jié)論． 【解答】解：（ 1） ∵ 直線 y=﹣ x+4與 x軸交于點(diǎn) A，與 y軸交于點(diǎn) B， ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3， 0）點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 0， 4）， 第 26 頁（共 54 頁） ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∵ 直線 y=x+m經(jīng)過點(diǎn) C， ∴ m=9， （ 2） ∵ MN 經(jīng)過點(diǎn) P（ 0， t）且平行于 x軸， ∴ 可設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ xM， t），點(diǎn) N的坐標(biāo)為（ xN， t）， ∵ 點(diǎn) M在直線 AB 上， 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x+4， ∴ t=﹣ xM+4，得 xM=﹣ t+3， 同理點(diǎn) N 在直線 CE上，直線 CE的解析式為 y=x+9， ∴ t=xN+9，得 xN=t﹣ 9， ∵ MN∥ x 軸且線段 MN 的長度為 d， ∴ d=xM﹣ xN=﹣ t+3﹣（ t﹣ 9） =﹣ t+12（ 0≤ t≤ 4） （ 3） MN= （ BC+AE）． 理由：當(dāng) t=2時(shí)， P（ 0， 2）， ∴ OP=2， ∵ OB=4， ∴ 點(diǎn) P是 OB 中點(diǎn)， ∵ MN∥ x 軸， ∴ MN是梯形 ABCE的中位線， ∴ MN= （ BC+AE）． 【點(diǎn)評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，梯形的中位線，待定系數(shù)法，解本題的關(guān)鍵得出 d與 t之間的函數(shù)關(guān)系式，是一道比較簡單的中考?？碱}． 第 27 頁（共 54 頁） 八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每題 2 分，共 20 分） 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 2．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明 ∠ AOC=∠ BOC 的依據(jù)是（ ） A． SSS B． ASA C． AAS D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等 3．邊長是 m 的正方形面積是 7，如圖，表示 m 的點(diǎn)在數(shù)軸上表示時(shí)，在哪兩個(gè)字母之間（ ） A． C 與 D B． A 與 B C． A 與 C D． B 與 C 4．如果 m 是任意實(shí)數(shù)，則點(diǎn) P（ m﹣ 4， m+1）一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列四幅圖象近似刻畫了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，圖象與下列四種情景對應(yīng)排序正確的是（ ） ① 一輛汽車在公路上勻速行駛 （汽車行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系）； ② 向錐形瓶中勻速注水 （水面的高度與注水時(shí)間的關(guān)系）； ③ 將常溫下的溫度計(jì)插入一杯熱水中 （溫度計(jì)的讀數(shù)與時(shí)間的關(guān)系）； ④ 一杯越來越?jīng)龅乃? （水溫與時(shí)間的關(guān)系）． 第 28 頁（共 54 頁） A． ①②④③ B． ③④②① C． ①④②③ D． ③②④① 6．如圖，直線 y=﹣ x+2 與 y=ax+b（ a≠ 0 且 a， b 為常數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3，﹣ 1），則關(guān)于 x 的不等式﹣ x+2≥ ax+b 的解集為（ ） A． x≥ ﹣ 1 B． x≥ 3 C． x≤ ﹣ 1 D． x≤ 3 7．等腰三角形的底邊長為 6，底邊上的中線長為 4，它的腰長為（ ） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4 8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（﹣ 3， 2）關(guān)于直線 y=x 對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A．（﹣ 3，﹣ 2） B．（ 3， 2） C．（ 2，﹣ 3） D．（ 3，﹣ 2） 9．如圖 1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為 S S S3；如圖 2，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為 S S S6．其中 S1=16， S2=45， S5=11， S6=14，則 S3+S4=（ ） A． 86 B． 64 C． 54 D． 48 10．如圖，正方形 ABCD 的邊長為 10， AG=CH=8， BG=DH=6，連接 GH，則線段 GH 的長為（ ） 第 29 頁（共 54 頁） A． B． 2 C． D． 10﹣ 5 二、填空題（每題 2 分，共 20 分） 11．如圖，已知 △ ABE≌△ ACF， ∠ E=∠ F=90176。， ∠ CMD=70176。，則 ∠ 2= 度． 12．某市 2022 年財(cái)政收入取得重大突破，地方公共財(cái)政收入用四舍五入取近似值后為 億元，那么這個(gè)數(shù)值精確到 位． 13．如圖，正方形 ODBC 中， OC=1， OA=OB，則數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是 ． 14．如圖，把一張長方形紙片 ABCD 沿 EF 折疊，點(diǎn) C、 D 分別落在點(diǎn) C′、 D′的位置上，EC 交 AD 于 G，已知 ∠ EFG=56176。，那么 ∠ BEG= ． 15．如圖，在 △ ACB 中， ∠ ACB=90176。， AC=BC，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 0），點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 6， 3），則 B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 第 30 頁（共 54 頁） 16．如圖，在 △ ABC 中， AB=AD=DC， ∠ BAD=20176。，則 ∠ C= ． 17．若 =a+b，其中 a 是整數(shù)， 0＜ b＜ 1，則（ a﹣ b）（ 4+ ） = ． 18．在平面直角坐標(biāo)系中，將