【文章內容簡介】 PQFGRE. 答案 D 畫幾何體的截面，關鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定．作圖時充分利用幾何體本身提供的面面 平行等條件，可以更快的確定交線的位置． 【訓練 1】 下列如圖所示是正方體和正四面體， P、 Q、 R、 S 分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是 ________． 解析 在 ④ 圖中，可證 Q點所在棱與面 PRS 平行，因此， P、 Q、 R、 S四點不共面．可證 ① 中四邊形 PQRS為梯形； ③ 中可證四邊形 PQRS為平行四邊形； ② 中如圖所示取 A1A與 BC的中點為 M、 N可證明 PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊 形． 答案 ①②③ 考向二 異面直線 【例 2】 ?如圖所示， 正方體 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分別是 A1B B1C1的中點．問： (1)AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由； (2)D1B 和 CC1是否是異面直線？說明理由． [審題視點 ] 第 (1)問，連結 MN， AC，證 MN∥ AC，即 AM 與 CN 共面；第 (2)問可采用反證法． 解 (1)不是異面直線．理由如下： 連接 MN、 A1C AC. ∵ M、 N 分別是 A1B B1C1的中點， ∴ MN∥ ∵ A1A綉 C1C， ∴ A1ACC1為平行四邊形， ∴ A1C1∥ AC， ∴ MN∥ AC， ∴ A、 M、 N、 C 在同一平面內，故 AM 和 CN 不是異面直線． (2)是異面直線．證明如下： ∵ ABCDA1B1C1D1是正方體， ∴ B、 C、 C D1不共面． 假設 D1B 與 CC1不是異面直線， 則存在平面 α，使 D1B? 平面 α， CC1? 平面 α， ∴ D1， B、 C、 C1∈ α，與 ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾． ∴ 假設不成立，即 D1B 與 CC1是異面直線． 證明兩直線為異面直線的方法 (1)定義法 (不易操作 )． (2)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面． 【訓練 2】 在下圖中， G、 H、 M、 N 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線 GH、 MN 是異面直線的圖形有 ________(填上所有正確答案的序號 )． 解析 如題干圖 (1)中，直線 GH∥ MN； 圖 (2)中， G、 H、 N三點共面，但 M?面 GHN，因此直線 GH與 MN異面； 圖 (3)中，連接 MG， GM∥ HN，因此 GH與 MN共面； 圖 (4)中， G、 M、 N共面，但 H?面 GMN， ∴ GH與 MN異面．所以圖 (2)、 (4)中 GH與 MN異面． 答案 (2)(4) 考向三 異面直線所成的角 【例 3】 ?(2020寧波調研 )正方體 ABCDA1B1C1D1中． (1)求 AC 與 A1D 所成角的大小； (2)若 E、 F 分別為 AB、 AD 的中點，求 A1C1與 EF 所成角的大?。? [審題視點 ] (1)平移 A1D 到 B1C，找出 AC 與 A1D 所成的角，再計算 ． (2)可證 A1C1與 EF 垂直． 解 (1)如圖所示，連接 AB1， B1C，由 ABCDA1B1C1D1是正方體， 易知 A1D∥ B1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角． ∵ AB1＝ AC＝ B1C， ∴∠ B1CA＝ 60176。. 即 A1D 與 AC 所成的角為 60176。. (2)如圖所示，連接 AC、 BD，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， AC⊥ BD， AC∥ A1C1， ∵ E、 F 分別為 AB、 AD 的中點 ， ∴ EF∥ BD， ∴ EF⊥ AC. ∴ EF⊥ A1C1. 即 A1C1與 EF 所成的角為 90176。. 求異面直線所成的角常采用 “ 平移線段法 ” ，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點 (線段的端點或中點 )作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行． 【訓練 3】 A是 △ BCD 平面外的一點， E， F 分別是 BC， AD 的中點． (1)求證：直線 EF 與 BD 是異面直線； (2)若 AC⊥ BD， AC＝ BD，求 EF 與 BD 所成的角． (1)證明 假設 EF 與 BD 不是異面直線，則 EF 與 BD 共面，從而 DF 與 BE 共面，即 AD 與 BC 共面，所以 A、 B、 C、 D 在同一平面內，這與 A是 △ BCD 平面外的一點相矛盾．故直線 EF 與 BD 是異面直線． (2)解 如圖，取 CD 的中點 G，連接 EG、 FG，則 EG∥ BD，所以相交直線 EF 與 EG所成的角，即為異面直線 EF 與 BD 所成的角． 在 Rt△ EGF 中，由 EG＝ FG＝ 12AC，求得 ∠ FEG＝ 45176。，即異面直線 EF 與 BD所成的角為 45176。. 考向四 點共 線、點共面、線共點的證明 【例 4】 ?正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分別是 AB 和 AA1的中點．求證： (1)E、 C、 D F 四點共面； (2)CE、 D1F、 DA 三線共點． [審題視點 ] (1)由 EF∥ CD1可得； (2)先證 CE 與 D1F 相交于 P，再證 P∈ AD. 證明 (1)如圖，連接 EF， CD1， A1B. ∵ E、 F 分別是 AB、 AA1的中點， ∴ EF∥ BA1. 又 A1B∥ D1C， ∴ EF∥ CD1， ∴ E、 C、 D F 四點共面． (2)∵ EF∥ CD1， EF＜ CD1， ∴ CE 與 D1F 必相交，設交點為 P， 則由 P∈ CE， CE? 平面 ABCD， 得 P∈ 平面 ABCD. 同理 P∈ 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1＝ DA， ∴ P∈ 直線 DA， ∴ CE、 D1F、 DA三線共點． 要證明點共線或線共點的問題，關鍵是轉化為證明點在直線上，也就是利用平面的基本性質 3，即證點在兩個平面的交線上．或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在此 直線上． 【訓練 4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD 中， E、 H 分別是邊 AB、 AD 的中點， F、 G 分別是邊 BC、 CD上的點，且 CFCB＝ CGCD＝ 23，求證：三條直線 EF、 GH、AC 交于一點． 證明 ∵ E、 H 分別為邊 AB、 AD 的中點， ∴ EH 綉 12BD，而 CFCB＝ CGCD＝ 23， ∴ FGBD＝ 23，且 FG∥ BD. ∴ 四邊形 EFGH 為梯形，從而兩腰 EF、 GH 必相交于一點 P. ∵ P∈ 直線 EF， EF? 平面 ABC， ∴ P∈ 平面 ABC. 同理， P∈ 平面 ADC. ∴ P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交線 AC 上，故 EF、 GH、 AC 三直線交于一點． 閱卷報告 10—— 點、直線、平面位置關系考慮不全致誤 【問題診斷】 由于空間點、直線、平面的位置關系是在空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關系相比復雜了很多，特別是當直 線和平面的個數較多時，各種位置關系錯綜復雜、相互交織，如果考慮不全面就會導致一些錯誤的判斷． 【防范措施】 借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析． 【 示例 】 ?(2020四川 )l1， l2， l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ( )． A． l1⊥ l2， l2⊥ l3? l1∥ l3 B． l1⊥ l2， l2∥ l3? l1⊥ l3 C． l1∥ l2∥ l3? l1， l2， l3共面 D． l1， l2， l3共點 ? l1， l2， l3共面 錯因 受平面幾何知識限制，未能全面考慮空間中的情況． 實錄 甲同學： A 乙同學： C 丙同學： D. 正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故 A 錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線， B 正確；相互平行的三條直 線不一定共面，如三棱柱的三條側棱，故 C 錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側棱，故 D 錯． 答案 B 【試一試】 (2020江西 ) 過正方體 ABCDA1B1C1D1的頂點 A 作直線 l，使 l 與棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，這樣的直線 l 可以作 ( )． A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 [嘗試解答 ] 如圖，連結體對角線 AC1，顯然 AC1與棱 AB、 AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為 其他體對角線，如連結 BD1，則 BD1與棱 BC、 BA、 BB1所成的角都相等， ∵ BB1∥ AA1， BC∥ AD， ∴ 體對角線 BD1與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，同理，體對角線 A1C、 DB1也與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，過 A點分別作 BD A1C、 DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線 l 可以 作 4 條． 答案 D 第 4 講 直線、平面平行的判定及其性質 【 2020 年高考會這樣考】 1．考查空間直線與平面平行，面面平行的判定及其性質． 2．以解答題的形式考查線面的平行關系． 3．考查空間中平行關系的探索性問題． 【復習指導】 1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質，會把空間問題轉化為平面問題，解答過程中敘述的步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分． 2．學會應用 “ 化歸思想 ” 進行 “ 線線問題、線面問題、面面問題 ” 的互相轉化，牢記解決問題的根源在 “ 定理 ” ． 基礎梳理 1． 平面與平面的位置關系有 相交 、 平行 兩種情況． 2． 直線和平面平行的判定 (1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面； (2)判定定理： a?α， b? α，且 a∥ b? a∥ α； (3)其他判定方法： α∥ β； a? α? a∥ β. 3． 直線和平面平行的性質定理： a∥ α， a? β， α∩ β＝ l? a∥ l. 4． 兩個平面平行的判定 (1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行； (2)判定定理： a? α， b? α， a∩ b＝ M， a∥ β， b∥ β? α∥ β； (3)推論： a∩ b＝ M， a， b? α， a′ ∩ b′ ＝ M′ ， a′ ， b′ ? β， a∥ a′ ， b∥ b′? α∥ β. 5． 兩個平面平行的性質定理 (1)α∥ β， a? α? a∥ β； (2)α∥ β， γ∩ α＝ a， γ∩ β＝ b? a∥ b. 6． 與垂直相關的平行的判定 (1)a⊥ α， b⊥ α? a∥ b； (2)a⊥ α， a⊥ β? α∥ β. 一個關系 平行問題的轉化關系： 兩個防范 (1)在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則，會出現錯誤． (2)把線面平行轉化為 線線平行時，必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習題改編 )下面命題中正確的是 ( )． ① 若一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ② 若一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ③ 若一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； ④ 若一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行． A． ①③ B． ②④ C． ②③④ D． ③④ 解析 ①② 中兩個平面可以相交， ③ 是兩個平面平行的定義， ④ 是兩 個平面平行的判定定理． 答案 D 2．平面 α∥ 平面 β， a? α， b? β，則直線 a， b 的位置關系是 ( )． A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 答案 D 3． (2020銀川質檢 )在空間中，下列命題正確的是 ( )． A．若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α B．若 a∥ α， b∥ α， a? β， b? β，則 β∥ α C．若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β D．若 α∥ β， a? α，則 a∥ β 解析 若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α或 b? α，故 A錯誤；由面面平行的判定定理知，B錯誤；若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β或 b? β，故 C錯誤． 答 案 D 4． (2020溫州模擬 )已知 m、 n 為兩條不同的直線， α、 β 為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是 ( )． A． m∥ n， m⊥ α? n⊥ α B． α∥ β， m? α， n? β? m∥ n C． m⊥ α， m⊥ n? n∥ α D． m? α， n? α， m∥