【正文】 (2)是異面直線．證明如下： ∵ ABCDA1B1C1D1是正方體， ∴ B、 C、 C D1不共面． 假設(shè) D1B 與 CC1不是異面直線， 則存在平面 α，使 D1B? 平面 α， CC1? 平面 α， ∴ D1， B、 C、 C1∈ α，與 ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾． ∴ 假設(shè)不成立，即 D1B 與 CC1是異面直線． 證明兩直線為異面直線的方法 (1)定義法 (不易操作 )． (2)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面． 【訓(xùn)練 2】 在下圖中， G、 H、 M、 N 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線 GH、 MN 是異面直線的圖形有 ________(填上所有正確答案的序號 )． 解析 如題干圖 (1)中，直線 GH∥ MN； 圖 (2)中， G、 H、 N三點共面，但 M?面 GHN，因此直線 GH與 MN異面； 圖 (3)中，連接 MG， GM∥ HN，因此 GH與 MN共面； 圖 (4)中， G、 M、 N共面，但 H?面 GMN， ∴ GH與 MN異面．所以圖 (2)、 (4)中 GH與 MN異面． 答案 (2)(4) 考向三 異面直線所成的角 【例 3】 ?(2020. 即 A1D 與 AC 所成的角為 60176。. 求異面直線所成的角常采用 “ 平移線段法 ” ，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點 (線段的端點或中點 )作平行線平移；補(bǔ)形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行． 【訓(xùn)練 3】 A是 △ BCD 平面外的一點， E， F 分別是 BC， AD 的中點． (1)求證：直線 EF 與 BD 是異面直線； (2)若 AC⊥ BD， AC＝ BD，求 EF 與 BD 所成的角． (1)證明 假設(shè) EF 與 BD 不是異面直線，則 EF 與 BD 共面，從而 DF 與 BE 共面，即 AD 與 BC 共面，所以 A、 B、 C、 D 在同一平面內(nèi)，這與 A是 △ BCD 平面外的一點相矛盾．故直線 EF 與 BD 是異面直線． (2)解 如圖，取 CD 的中點 G，連接 EG、 FG，則 EG∥ BD，所以相交直線 EF 與 EG所成的角，即為異面直線 EF 與 BD 所成的角． 在 Rt△ EGF 中，由 EG＝ FG＝ 12AC，求得 ∠ FEG＝ 45176。. 考向四 點共 線、點共面、線共點的證明 【例 4】 ?正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分別是 AB 和 AA1的中點．求證： (1)E、 C、 D F 四點共面； (2)CE、 D1F、 DA 三線共點． [審題視點 ] (1)由 EF∥ CD1可得； (2)先證 CE 與 D1F 相交于 P，再證 P∈ AD. 證明 (1)如圖，連接 EF， CD1， A1B. ∵ E、 F 分別是 AB、 AA1的中點， ∴ EF∥ BA1. 又 A1B∥ D1C， ∴ EF∥ CD1， ∴ E、 C、 D F 四點共面． (2)∵ EF∥ CD1， EF＜ CD1， ∴ CE 與 D1F 必相交，設(shè)交點為 P， 則由 P∈ CE， CE? 平面 ABCD， 得 P∈ 平面 ABCD. 同理 P∈ 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1＝ DA， ∴ P∈ 直線 DA， ∴ CE、 D1F、 DA三線共點． 要證明點共線或線共點的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用平面的基本性質(zhì) 3，即證點在兩個平面的交線上．或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在此 直線上． 【訓(xùn)練 4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD 中， E、 H 分別是邊 AB、 AD 的中點， F、 G 分別是邊 BC、 CD上的點，且 CFCB＝ CGCD＝ 23，求證：三條直線 EF、 GH、AC 交于一點． 證明 ∵ E、 H 分別為邊 AB、 AD 的中點， ∴ EH 綉 12BD，而 CFCB＝ CGCD＝ 23， ∴ FGBD＝ 23，且 FG∥ BD. ∴ 四邊形 EFGH 為梯形，從而兩腰 EF、 GH 必相交于一點 P. ∵ P∈ 直線 EF， EF? 平面 ABC， ∴ P∈ 平面 ABC. 同理， P∈ 平面 ADC. ∴ P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交線 AC 上，故 EF、 GH、 AC 三直線交于一點． 閱卷報告 10—— 點、直線、平面位置關(guān)系考慮不全致誤 【問題診斷】 由于空間點、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直 線和平面的個數(shù)較多時，各種位置關(guān)系錯綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯誤的判斷． 【防范措施】 借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析． 【 示例 】 ?(2020江西 ) 過正方體 ABCDA1B1C1D1的頂點 A 作直線 l，使 l 與棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，這樣的直線 l 可以作 ( )． A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 [嘗試解答 ] 如圖，連結(jié)體對角線 AC1，顯然 AC1與棱 AB、 AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為 其他體對角線，如連結(jié) BD1，則 BD1與棱 BC、 BA、 BB1所成的角都相等， ∵ BB1∥ AA1， BC∥ AD， ∴ 體對角線 BD1與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，同理，體對角線 A1C、 DB1也與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，過 A點分別作 BD A1C、 DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線 l 可以 作 4 條． 答案 D 第 4 講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 【 2020 年高考會這樣考】 1．考查空間直線與平面平行，面面平行的判定及其性質(zhì)． 2．以解答題的形式考查線面的平行關(guān)系． 3．考查空間中平行關(guān)系的探索性問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解答過程中敘述的步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分． 2．學(xué)會應(yīng)用 “ 化歸思想 ” 進(jìn)行 “ 線線問題、線面問題、面面問題 ” 的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問題的根源在 “ 定理 ” ． 基礎(chǔ)梳理 1． 平面與平面的位置關(guān)系有 相交 、 平行 兩種情況． 2． 直線和平面平行的判定 (1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面； (2)判定定理： a?α， b? α，且 a∥ b? a∥ α； (3)其他判定方法： α∥ β； a? α? a∥ β. 3． 直線和平面平行的性質(zhì)定理： a∥ α， a? β， α∩ β＝ l? a∥ l. 4． 兩個平面平行的判定 (1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行； (2)判定定理： a? α， b? α， a∩ b＝ M， a∥ β， b∥ β? α∥ β； (3)推論： a∩ b＝ M， a， b? α， a′ ∩ b′ ＝ M′ ， a′ ， b′ ? β， a∥ a′ ， b∥ b′? α∥ β. 5． 兩個平面平行的性質(zhì)定理 (1)α∥ β， a? α? a∥ β； (2)α∥ β， γ∩ α＝ a， γ∩ β＝ b? a∥ b. 6． 與垂直相關(guān)的平行的判定 (1)a⊥ α， b⊥ α? a∥ b； (2)a⊥ α， a⊥ β? α∥ β. 一個關(guān)系 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系： 兩個防范 (1)在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤． (2)把線面平行轉(zhuǎn)化為 線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下面命題中正確的是 ( )． ① 若一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ② 若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ③ 若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； ④ 若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行． A． ①③ B． ②④ C． ②③④ D． ③④ 解析 ①② 中兩個平面可以相交， ③ 是兩個平面平行的定義， ④ 是兩 個平面平行的判定定理． 答案 D 2．平面 α∥ 平面 β， a? α， b? β，則直線 a， b 的位置關(guān)系是 ( )． A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 答案 D 3． (2020溫州模擬 )已知 m、 n 為兩條不同的直線， α、 β 為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是 ( )． A． m∥ n， m⊥ α? n⊥ α B． α∥ β， m? α， n? β? m∥ n C． m⊥ α， m⊥ n? n∥ α D． m? α， n? α， m∥ β， n∥ β? α∥ β 解析 選項 A中，如圖 ① ， n∥ m， m⊥ α? n⊥ α一定成立， A正確；選項 B中，如圖 ② ， α∥ β， m? α， n? β? m 與 n 互為異面直線， ∴ B 不正確；選項 C 中，如圖 ③ ， m⊥ α， m⊥ n? n? α， ∴ C不正確；選項 D中，如圖 ④ ， m? α， n? α，m∥ β， n∥ β? α與 β相交， ∴ D不正確 . 答案 A 5． (2020天津改編 )如圖， 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， O 為 AC 的中點， M 為 PD的中點． 求證： PB∥ 平面 ACM. [審題視點 ] 連接 MO，證明 PB∥ MO 即可． 證明 連接 BD， ABCD 中，因為 O 為 AC 的中點，所以 O 為BD 的中點．又 M 為 PD 的中點，所以 PB∥ PB?平面 ACM， MO? 平面ACM，所以 PB∥ 平面 ACM. 利用判定 定理時關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線． 【訓(xùn)練 1】 如圖，若 PA⊥ 平面 ABCD，四邊形 ABCD 是矩形， E、 F 分別是 AB、 PD的中點，求證：AF∥ 平面 PCE. 證明 取 PC 的中點 M，連接 ME、 MF， 則 FM∥ CD 且 FM＝ 12CD. 又 ∵ AE∥ CD 且 AE＝ 12CD， ∴ FM 綉 AE，即四邊形 AFME 是平行四邊形． ∴ AF∥ ME，又 ∵ AF?平面 PCE， EM? 平面 PCE， ∴ AF∥ 平面 PCE. 考向二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例 2】 ?如圖， 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， M、 N、 P 分別為所在邊的中點． 求證：平面 MNP∥ 平面 A1C1B； [審題視點 ] 證明 MN∥ A1B， MP∥ C1B. 證明 連接 D1C，則 MN 為 △ DD1C 的中位線， ∴ MN∥ D1C. 又 ∵ D1C∥ A1B， ∴ MN∥ ， MP∥ C1B. 而 MN 與 MP 相交， MN， MP 在平面 MNP 內(nèi)， A1B， C1B 在平面 A1C1B 內(nèi)． ∴平面 MNP∥ 平面 A1C1B. 證明面面平行的方法有： (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； (4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； (5)利用 “ 線線平行 ” 、 “ 線面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互 轉(zhuǎn)化． 【訓(xùn)練 2】 如圖， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F， G， H 分別是 AB， AC， A1B1， A1C1的中點，求證： (1)B， C， H， G 四點共面； (2)平面 EFA1∥ 平面 BCHG. 證明 (1)∵ GH 是 △ A1B1C1的中位線， ∴ GH∥ B1C1. 又 ∵ B1C1∥ BC， ∴ GH∥ BC， ∴ B， C， H， G 四點共面． (2)∵ E、 F 分別為 AB、 AC 的中點， ∴ EF∥ BC， ∵ EF?平面 BCHG， BC? 平面 BCHG， ∴ EF∥ 平面 BCHG. ∵ A1G 綉 EB， ∴ 四邊形 A1EBG 是平行四邊形， ∴ A1E∥ GB.∵ A1E?平面 BCHG， GB? 平面 BCHG. ∴ A1E∥ 平面 BCHG. ∵ A1E∩ EF＝ E， ∴ 平面 EFA1∥ 平面 BCHG. 考向三 線面平行中的探索問題 【例 3】 ?如圖所示， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A⊥ 平面 ABC，若 D 是棱 CC1的中點，問在棱 AB 上是否存在一點 E，使 DE∥ 平面 AB1C1？若存在