【正文】 ，請確定點 E 的位置；若不存在，請說明理由． [審題視點 ] 取 AB、 BB1的中點分別為 E、 F， 證明平面 DEF∥ 平面 AB1C1即可． 解 存在點 E，且 E 為 AB 的中點． 下面給出證明： 如圖，取 BB1的中點 F，連接 DF， 則 DF∥ B1C1. ∵ AB 的中點為 E，連接 EF， 則 EF∥ AB1. B1C1與 AB1是相交直線， ∴ 平面 DEF∥ 平面 AB1C1. 而 DE? 平面 DEF， ∴ DE∥ 平面 AB1C1. 解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個結(jié)果出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立 的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件 (出現(xiàn)矛盾 )，則不存在． 【訓(xùn)練 3】 如圖， 在四棱錐 PABCD 中，底面是平行四邊形， PA⊥ 平面 ABCD，點 M、 N 分別為 BC、PA 的中點．在線段 PD 上是否存在一點 E，使 NM∥ 平面 ACE？若存在，請確定點 E 的位置；若不存在，請說明理由． 解 在 PD 上存在一點 E，使得 NM∥ 平面 ACE. 證明如下：如圖，取 PD 的 中點 E，連接 NE， EC， AE， 因為 N， E 分別為 PA， PD 的中點，所以 NE 綉 12AD. 又在平行四邊形 ABCD 中， CM 綉 NE 綉 MC，即四邊形 MCEN 是平行四邊形．所以 NM 綉 EC. 又 EC? 平面 ACE， NM?平面 ACE，所以 MN∥ 平面 ACE， 即在 PD 上存在一點 E，使得 NM∥ 平面 ACE. 規(guī)范解答 13—— 怎樣證明線線、線面、面面平行與垂直的綜合性問題 【問題研究】 高考對平行、垂直關(guān)系的考 查主要以線面平行、線面垂直為核心，以多面體為載體結(jié)合平面幾何知識，考查判定定理、性質(zhì)定理等內(nèi)容，難度為中低檔題目 . 【解決方案】 利用定理證明線面關(guān)系時要注意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，尤其注意對正棱柱、正棱錐等特殊幾何體性質(zhì)的靈活運用，進(jìn)行空間線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(2020. (1)證明： AA1⊥ BD； (2)證明： CC1∥ 平面 A1BD. 第 (1)問轉(zhuǎn)化為證明 BD 垂直 A1A 所在平面；第 (2)問在平面 A1BD 內(nèi)尋找一條線與 CC1平行． [解答示范 ] 證明 (1)因為 D1D⊥ 平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD， 所以 D1D⊥ BD.(1 分 ) 又因為 AB＝ 2AD， ∠ BAD＝ 60176。ABcos 60176。安徽 ) 如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是正方形， AB＝ 2EF＝ 2， EF∥ AB，EF⊥ FB， ∠ BFC＝ 90176。 ∴ BF⊥ 平面 CDEF. ∴ BF 為四面體 BDEF 的高． 又 BC＝ AB＝ 2， ∴ BF＝ FC＝ 2. VB－ DEF＝ 13 12 1 2 2＝ 13. 第 5 講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 【 2020 年高考會這樣考】 1．以選擇題、填空題的形式考查垂直關(guān)系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結(jié)合． 2．以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定．考查空間想象能力、邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用能力． 3．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，運用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理的簡單命題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點，是復(fù)習(xí)的重點．縱觀歷 年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復(fù)習(xí)要抓好三基：基礎(chǔ)知識，基本方法，基本能力． 2．要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法．在本講中 “ 化歸 ” 思想尤為重要，不論何種 “ 垂直 ” 都要化歸到 “ 線線垂直 ” ，觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口． 基礎(chǔ)梳理 1．直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ① 定義法． ② 利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條 相交 直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． ③ 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平 面，那么另一條直線也 垂直于這個平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ① 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi) 任意 直線． ② 垂直于同一個平面的兩條直線 平行． ③ 垂直于同一直線的兩平面 平行． 2． 斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角． 3． 平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ① 定義法 ② 利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的 一條垂線 ，則這兩個平面互相垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們 交線 的直線垂直于另一個平面． 一個關(guān)系 垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 線線垂直 面面垂直判定性質(zhì)線面垂直判定性質(zhì) 三類證法 (1)證明線線垂直的方法 ① 定義：兩條直線所成的角為 90176。安慶月考 )在空間中，下列命題正確的是 ( )． A．平行直線的平行投影重合 B．平行于同一直線的兩個平面平行 C．垂直于同一平面的兩個平面平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行 解析 選項 A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項 B，兩個相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個平面；選項 C，兩個相交平面可以同時垂直于同一個平面；選項 D正確． 答案 D 3． (2020聊城模擬 )設(shè) a、 b、 c 表示三條不同的直線， α、 β表示兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是 ( )． A. ???c⊥ αα∥ β ? c⊥ β B. ???b? β， a⊥ bc是 a在 β內(nèi)的射影 ? b⊥ c C. ???b∥ cb? αc?α? c∥ α D. ???a∥ αb⊥ a ? b⊥ α 解析 由 a∥ α， b⊥ α可得 b與 α的位置關(guān)系有： b∥ α， b? α， b與 α相交，所以 D不正確． 答案 D 5．如圖，已知 PA⊥ 平面 ABC， BC⊥ AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為 ________． 解析 由線面垂直知，圖中直角三角形為 4個． 答案 4 考向一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例 1】 ?(2020 AD＝ AC＝ 1， O為 AC 的中點， PO⊥ 平面 ABCD. 證明： AD⊥ 平面 PAC. [審題視點 ] 只需證 AD⊥ AC，再利用線面垂直的判定定理即可． 證明 ∵∠ ADC＝ 45176。即 AD⊥ AC， 又 PO⊥ 平面 ABCD， AD? 平面 ABCD， ∴ PO⊥ AD，而 AC∩ PO＝ O， ∴ AD⊥ 平面 PAC. (1)證明直線和平面垂直的常用方法有： ① 判定定理； ② a∥ b， a⊥ α? b⊥ α； ③ α∥ β， a⊥ α? a⊥ β； ④ 面面垂直的性質(zhì)． (2)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直． 【訓(xùn)練 1】 如圖， 已知 BD⊥ 平面 ABC， MC 綉 12BD， AC＝ BC， N 是棱 AB 的中點． 求證： CN⊥ AD. 證明 ∵ BD⊥ 平面 ABC， CN? 平面 ABC， ∴ BD⊥ CN. 又 ∵ AC＝ BC， N 是 AB 的中點． ∴ CN⊥ AB. 又 ∵ BD∩ AB＝ B， ∴ CN⊥ 平面 ABD. 而 AD? 平面 ABD， ∴ CN⊥ AD. 考向二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例 2】 ?如圖 所示，在四棱錐 PABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD， AB∥ DC， △ PAD 是等邊三角形，已知 BD＝ 2AD＝ 8， AB＝ 2DC＝ 4 是 PC 上的一點，證明：平面MBD⊥ 平面 PAD. [審題視點 ] 證明 BD⊥ 平面 PAD，根據(jù)已知平面 PAD⊥ 平 面 ABCD，只要證明 BD⊥ AD 即可． 證明 在 △ ABD 中，由于 AD＝ 4， BD＝ 8， AB＝ 4 5， 所以 AD2＋ BD2＝ AD⊥ BD. 又平面 PAD⊥ 平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝ AD， BD? 平面 ABCD，所以 BD⊥ 平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD，故平面 MBD⊥ 平面 PAD. 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法 (若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面 )、面面 垂直性質(zhì)定理法，本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法． 【訓(xùn)練 2】 如圖所示， 在長方體 ABCDA1B1C1D1中， AB＝ AD＝ 1， AA1＝ 2， M 是棱 CC1的中點． 證明：平面 ABM⊥ 平面 A1B1M. 證明 ∵ A1B1⊥ 平面 B1C1CB， BM? 平面 B1C1CB， ∴ A1B1⊥ BM， 由已知易得 B1M＝ 2， 又 BM＝ BC2＋ CM2＝ 2， B1B＝ 2， ∴ B1M2＋ BM2＝ B1B2， ∴ B1M⊥ BM. 又 ∵ A1B1∩ B1M＝ B1， ∴ BM⊥ 平面 A1B1M. 而 BM? 平面 ABM， ∴ 平面 ABM⊥ 平面 A1B1M. 考向三 平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?如圖， 在四面體 ABCD 中， CB＝ CD， AD⊥ BD，點 E、 F 分別是 AB、 BD 的中點．求證： (1)直線 EF∥ 平面 ACD； (2)平面 EFC⊥ 平面 BCD. [審題視點 ] 第 (1)問需證明 EF∥ AD；第 (2)問需證明 BD⊥ 平面 EFC. 證明 (1)在 △ ABD 中，因為 E、 F 分別是 AB、 BD 的中點， 所以 EF∥ AD. 又 AD? 平面 ACD， EF?平面 ACD， 所以直線 EF∥ 平面 ACD. (2)在 △ ABD 中， 因為 AD⊥ BD， EF∥ AD，所以 EF⊥ BD. 在 △ BCD 中，因為 CD＝ CB， F 為 BD 的中點， 所以 CF⊥ BD. 因為 EF? 平面 EFC， CF? 平面 EFC， EF 與 CF 交于點 F，所以 BD⊥ 平面 EFC. 又因為 BD? 平面 BCD，所以平面 EFC⊥ 平面 BCD. 解答立體幾何綜合題時，要學(xué)會識圖、用圖與作圖．圖 在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關(guān)系的證明，都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合，準(zhǔn)確識圖，靈活利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵． 【訓(xùn)練 3】 如圖， 正方形 ABCD 和四邊形 ACEF 所在的平面互相垂直， EF∥ AC， AB＝ 2， CE＝EF＝ 1. (1)求證： AF∥ 平面 BDE； (2)求證： CF⊥ 平面 BDE. 證明 (1)設(shè) AC 與 BD 交于點 G. 因為 EF∥ AG，且 EF＝ 1， AG＝ 12AC＝ 1. 所以四邊形 AGEF 為平行四邊形， 所以 AF∥ EG? 平面 BDE， AF?平面 BDE， 所以 AF∥ 平面 BDE. (2)如圖，連接 FG. 因為 EF∥ CG， EF＝ CG＝ 1， 且 CE＝ 1， 所以四邊形 CEFG 為菱形． 所以 CF⊥ EG. 因為四邊形 ABCD 為正方形，所以 BD⊥ AC. 又因為平面 ACEF⊥ 平面 ABCD， 且平面 ACEF∩ 平面 ABCD＝ AC， 所以 BD⊥ 平面 ACEF. 所以 CF⊥ BD. 又 BD∩ EG＝ G. 所以 CF⊥ 平面 BDE. 考向四 線面角 【例 4】 ?(2020. 即 AE 與平面 PDB 所成的角為 45176。麗水質(zhì)檢 ) 如圖，已知 DC⊥ 平面 ABC， EB∥ DC， AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2， ∠ ACB＝ 120176。江蘇 )如圖， 在四棱錐 PABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD， AB＝ AD， ∠ BAD＝ 60176。 所以 △ ABD 為正三角形． 因為 F 是 AD 的中點，所以 BF⊥ AD. 因為平面 PAD⊥ 平面 ABCD， BF? 平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝ AD，所以 BF⊥ 平面 PAD. 又因為 BF? 平面 BEF，所以平面 BEF⊥ 平面 PAD. 【試一試】 如圖 所示，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 a 的正方形， E、 F 分別為 PC、BD 的中點，側(cè)面 PAD⊥ 底面 ABCD，且 PA＝ PD＝ 22 AD. (1)求證： EF∥ 平面 PAD； (2)求證：平面 PAB⊥ 平面 PCD. [嘗試解答 ] (1)連接 AC，則 F 是 AC 的中點， E 為 PC的中點，故在 △ CPA