空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-閱讀頁(yè)
2025-07-10 00:21本頁(yè)面
【正文】 ，∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由∠BDC＝90176。孝感模擬)如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．(1)求證：PA⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，E(－1,0，1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(－2,1,0)．(1)∵＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，∴江西高考)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長(zhǎng)；(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值．解：(1)證明：連接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于點(diǎn)E，因?yàn)锳A1∥BB1，所以O(shè)E⊥BB1.因?yàn)锳1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.因?yàn)锳B＝AC，OB＝OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以O(shè)E⊥平面BB1C1C，又AO＝＝1，AA1＝，得AE＝＝.(2)如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，－2,0)，A1(0,0,2)，由＝得點(diǎn)E的坐標(biāo)是，由(1)得平面BB1C1C的法向量是＝，設(shè)平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)，由得令y＝1，得x＝2，z＝－1，即n＝(2,1，－1)，所以cos〈，n〉＝＝，即平面BB1C1C與平面A1B1C的夾角的余弦值是.5．如圖所示，在多面體ABCD－A1B1C1D1中，上，下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角F－CC1－B的余弦值．解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．(1)∵＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)，∴|cos〈，〉|＝＝，所以異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為.(2)∵＝(－a，－a，a)，＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)，∴∴FB1⊥BB1，F(xiàn)B1⊥BC.∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個(gè)法向量．設(shè)n＝(x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，∵＝(0，－a，a)，＝(－a,2a,0)，∴得令y1＝1，則x1＝2，z1＝1，∴n＝(2,1,1)，∴cos〈，n〉＝＝，即二面角F－CC1－B的余弦值為.6．(2013Q為AD的中點(diǎn)．(1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，＝，求證：PA∥平面MQB；(3)在(2)的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小．解：(1)連接BD，四邊形ABCD菱形，∵∠BAD＝60176。.7．(2012求AB的長(zhǎng)．解：(1)證明：以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a，0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵∴|cos θ|＝cos 30176。D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．解：(1)設(shè)＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且ac＝c＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，＝b＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.2．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60176。AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥⊥BD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(－1，0)，P(0,0,1)．＝(－1，0)，＝(0，－1)，＝(－1,0,0)．設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即因此可取n＝(，1，)．設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則∴可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A－PB－C的余弦值為－.3．(2013.(1)若異面直線A1B與B1C1所成的角為60176。所以cos 60176。平面AA1C1C⊥面ABCD，∠A1AC＝60176?！郃1O2＝AA＋AO2－2A1A＝3.∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴AO⊥A1O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.∴以O(shè)B，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A1(0,0，)．(1)由＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，則＝0，∴－－λ＝0，∴λ＝－1.∴點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C＝CP.
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