空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.(3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)＝(0,1,1)．設(shè)與n所成的角為θ，則cos θ＝＝ .∵二面角A－B1E－A1的大小為30176。＝(－a＋c)＝，即＝，得＝，解得h＝1.(2)由D是BB1的中點(diǎn)，得D，于是＝.設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，于是由n⊥，n⊥可得即可取n＝(h,0,1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|，而|cos〈，n〉|＝＝＝.令f(h)＝＝，因?yàn)閔2＋＋9≥2＋9，當(dāng)且僅當(dāng)h2＝，即h＝時(shí)，等號(hào)成立．所以f(h)≤＝＝，故當(dāng)h＝時(shí)，sin θ的最大值為.4．如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC＝60176。＝0(－2)＋10＋0＝0，∴BD⊥AA1，(2)由OB⊥面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量n1＝(1,0,0)，設(shè)n2⊥面AA1D，則設(shè)n2＝(x，y，z)，得到取n2＝(1，－1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是.(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥面DA1C1，設(shè)＝λ，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．得P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．設(shè)n3⊥面DA1C1，則設(shè)n3＝(x3，y3，z3)，得到∴不妨取n3＝(1,0，－1)．又∵∥面DA1C1，∴n3求棱柱的高；(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求sin θ的最大值．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AA1＝h(h0)，則有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，＝(－1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(1,0，－h(huán))．(1)因?yàn)楫惷嬷本€A1B與B1C1所成的角為60176。a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴福建高考)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30176。及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|＝1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，∴＝，＝(1,0,0)，∴與夾角的余弦值為cos〈，〉＝＝＝.2．(2013滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖②所示的空間圖形．對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題．(1)證明：AA1⊥BC；(2)求AA1的長(zhǎng)；(3)求二面角A173。＝0，∴⊥，⊥.又CD∩DE＝D，∴⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCD⊥平面CDE.利用空間向量求空間角[例2] 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，F(xiàn)D1＝(－4,2,2)．設(shè)n＝(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有??x＝y(tǒng)＝－1，∴n＝(－1，－1,2)，∵向量＝(0,0,2)與平面CDE垂直，∴n與AA1所成的角θ為二面角C－DE－C1的平面角或其補(bǔ)角．∵cos θ＝＝＝，由圖知二面角C－DE－C1的平面角為銳角，∴tan θ＝.(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為β，則cos β＝＝＝.———————————————————求平面的法向量的步驟(1)設(shè)出法向量的坐標(biāo)，一般設(shè)為n＝(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組．(3)消元，通過(guò)加減消元，用一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)．(4)賦值確定平面的一個(gè)法向量．2．(2012或135176。m＝0設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．4．直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝.5．求二面角的大小(1)如圖①，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[探究]??？?jī)僧惷嬷本€所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是[0，π]；兩異面直線所成角的范圍是；直線與平面所成角的范圍是；二面角的范圍是[0，π]
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