【正文】 算難點(diǎn)的關(guān)鍵． 【示例 1】 ? (2020天津 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 (單位： m)則 該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. 解析 由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為 1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為 1，高為 3，所以該幾何體的體積為 3 2 1＋ 13π 3＝ 6＋ π(m3)． 答案 6＋ π 考向一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例 1】 ?(2020寧波調(diào)研 )正方體 ABCDA1B1C1D1中． (1)求 AC 與 A1D 所成角的大??； (2)若 E、 F 分別為 AB、 AD 的中點(diǎn)，求 A1C1與 EF 所成角的大?。? [審題視點(diǎn) ] (1)平移 A1D 到 B1C，找出 AC 與 A1D 所成的角，再計(jì)算 ． (2)可證 A1C1與 EF 垂直． 解 (1)如圖所示，連接 AB1， B1C，由 ABCDA1B1C1D1是正方體， 易知 A1D∥ B1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角． ∵ AB1＝ AC＝ B1C， ∴∠ B1CA＝ 60176。銀川質(zhì)檢 )在空間中，下列命題正確的是 ( )． A．若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α B．若 a∥ α， b∥ α， a? β， b? β，則 β∥ α C．若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β D．若 α∥ β， a? α，則 a∥ β 解析 若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α或 b? α，故 A錯(cuò)誤；由面面平行的判定定理知，B錯(cuò)誤；若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β或 b? β，故 C錯(cuò)誤． 答 案 D 4． (2020＝ 3AD2，所以 AD2＋ BD2＝ AB2， 因此 AD⊥ BD.(4 分 ) 又 AD∩ D1D＝ D， 所以 BD⊥ 平面 ADD1A1. 又 AA1? 平面 ADD1A1， 故 AA1⊥ BD.(6 分 ) (2)如圖，連結(jié) AC， A1C1， 設(shè) AC∩ BD＝ E，連結(jié) EA1， 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為平行四邊形， 所以 EC＝ 12AC.(8 分 ) 由棱臺(tái)定義及 AB＝ 2AD＝ 2A1B1知 A1C1∥ EC 且 A1C1＝ EC，所以四邊形 A1ECC1為平行四邊形， (10 分 ) 因此 CC1∥ EA1. 又因?yàn)?EA1? 平面 A1BD， CC1?平面 A1BD， 所以 CC1∥ 平面 A1BD.(12 分 ) 證明線面關(guān)系不能僅僅考慮線面關(guān)系的判定和性質(zhì)，更要注意對(duì)幾何體的幾何特征的靈活應(yīng)用．證明的依據(jù)是空間線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理．另外根據(jù)幾何體的數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算也可得到線線垂直的關(guān)系，所以要注意對(duì)幾何體中的數(shù)據(jù)的正確利用． 【試一試】 (2020天津改編 )如圖， 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， ∠ ADC＝ 45176。P， Q 分別 為 AE， AB 的中點(diǎn)． (1)證明： PQ∥ 平面 ACD； (2)求 AD 與平面 ABE 所成角的正弦值． (1)證明 因?yàn)?P， Q 分別為 AE， AB 的中點(diǎn)，所以 PQ∥ EB. 又 DC∥ EB，因此 PQ∥ DC， PQ?平面 ACD， DC? 平面 ACD，從而 PQ∥ 平面ACD. (2)解 如圖，連接 CQ， DP. 因?yàn)?Q 為 AB 的中點(diǎn)，且 AC＝ BC， 所以 CQ⊥ AB. 因?yàn)?DC⊥ 平面 ABC， EB∥ DC， 所以 EB⊥ 平面 ABC. 因此 CQ⊥ EB，又 AB∩ EB＝ B， 故 CQ⊥ 平面 ABE. 由 (1)有 PQ∥ DC，又 PQ＝ 12EB＝ DC， 所以四邊形 CQPD 為平行四邊形，故 DP∥ CQ， 因此 DP⊥ 平面 ABE， ∠ DAP 為 AD 和平面 ABE 所成的角， 在 Rt△ DPA中， AD＝ 5， DP＝ 1， sin∠ DAP＝ 55 . 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值為 55 . 閱卷報(bào)告 11—— 證明過(guò)程推理不嚴(yán)密而丟分 【問(wèn)題診斷】 高考對(duì)空間線面關(guān)系的考查每年 必有一道解答題，難度為中低檔題，大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分，往往因?yàn)橥评聿粐?yán)密，跳步作答所致 . 【防范措施】 解題過(guò)程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求 .每步推理要有根有據(jù) .計(jì)算題要有明確的計(jì)算過(guò)程，不可跨度太大，以免漏掉得分點(diǎn) .引入數(shù)據(jù)要明確、要寫(xiě)明已知、設(shè)等字樣 .要養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣 . 【 示例 】 ?(2020. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步： (1)找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成； (2)計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解． 【訓(xùn)練 4】 (2020蘭州模擬 )用 a， b， c 表示三條不同的直線， γ 表示平面，給出下列命題： ① 若 a∥ b， b∥ c，則 a∥ c； ② 若 a⊥ b， b⊥ c，則 a⊥ c； ③ 若 a∥ γ， b∥ γ，則 a∥ b； ④ 若 a⊥ γ， b⊥ γ，則 a∥ b. 其中真命題的序號(hào)是 ( )． A． ①② B． ②③ C． ①④ D． ③④ 解析 由公理 4知 ① 是真命題．在空間 內(nèi) a⊥ b， b⊥ c，直線 a、 c的關(guān)系不確定，故 ② 是假命題． 由 a∥ γ， b∥ γ，不能判定 a、 b的關(guān)系，故 ③ 是假命題． ④ 是直線與平面垂直的性質(zhì)定理． 答案 C 4． (2020 在 △ ABD 中，由余弦定理得 BD2＝ AD2＋ AB2－ 2AD四川 )l1， l2， l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ( )． A． l1⊥ l2， l2⊥ l3? l1∥ l3 B． l1⊥ l2， l2∥ l3? l1⊥ l3 C． l1∥ l2∥ l3? l1， l2， l3共面 D． l1， l2， l3共點(diǎn) ? l1， l2， l3共面 錯(cuò)因 受平面幾何知識(shí)限制，未能全面考慮空間中的情況． 實(shí)錄 甲同學(xué)： A 乙同學(xué)： C 丙同學(xué)： D. 正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故 A 錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線， B 正確；相互平行的三條直 線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故 C 錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故 D 錯(cuò)． 答案 B 【試一試】 (2020浙江 )下列命題中錯(cuò)誤的是 ( )． A．如果平面 α⊥ 平面 β，那么平面 α 內(nèi)一定存在直線平行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 β C．如果平面 α⊥ 平面 γ，平面 β⊥ 平面 γ， α∩ β＝ l，那么 l⊥ 平面 γ D．如果平面 α⊥ 平面 β，那么平面 α 內(nèi)所有直線都垂直于平面 β 解析 對(duì)于 D, 若平面 α⊥ 平面 β，則平面 α內(nèi)的直線可能不垂直于平面 β，甚至可能平行于平面 β，其余選項(xiàng)均是正確的． 答案 D 4． (2020陜西 )某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 ( )． A． 8－ 2π3 B． 8－ π3 C． 8－ 2π 解析 圓錐的底面半徑為 1，高為 2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即 V＝ 22 2－ 13 π 12 2＝ 8－ 23π，正確選項(xiàng)為 A. 答案 A 4． (2020 2廣東 )如圖，某幾何體的正視圖 (主視圖 )是平行四邊形，側(cè)視圖 (左視圖 )和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ( )． A． 18 3 B． 12 3 C． 9 3 D． 6 3 [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解． 解析 該幾何體為一個(gè)斜棱柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為 3的正方形，高為 3，故 V＝ 3 3 3＝ 9 3. 答案 C 以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān) 鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解． 【訓(xùn)練 2】 (2020東北三校聯(lián)考 )設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2a、 a、 a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 ( )． A． 3πa2 B． 6πa2 C． 12πa2 D． 24πa2 解析 由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2a、 a、 a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為?2a?2＋ a2＋ a2＝ 2R 等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線， ∴ 2R＝ 6a.∴ S 球 ＝ 4πR2＝ 6πa2. 答案 B 3． (2020 CD∥ AB，AB＝ 4， AD＝ CD＝ 2，將 △ ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥ 平面 ABC，得到幾何體 DABC，如圖 2 所示． (1)求證： BC⊥ 平面 ACD； (2)求幾何體 DABC 的體積． [審題視點(diǎn) ] (1)利用線面垂直的判定定理，證明 BC 垂直于平面 ACD內(nèi)的兩條相交線即可； (2)利用體積公式及等體積法證明． (1)證明 在圖中，可得 AC＝ BC＝ 2 2， 從而 AC2＋ BC2＝ AB2，故 AC⊥ BC， 取 AC 的中點(diǎn) O，連接 DO， 則 DO⊥ AC，又平面 ADC⊥ 平面 ABC，平面 ADC∩ 平面 ABC＝ AC， DO? 平面ADC，從而 DO⊥ 平面 ABC， ∴ DO⊥ BC， 又 AC⊥ BC， AC∩ DO＝ O， ∴ BC⊥ 平面 ACD. (2)解 由 (1)可知， BC 為三棱錐 BACD 的高， BC＝ 2 2， S△ ACD＝ 2， ∴ VBACD＝ 13S△ ACD安徽 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為 ( )． A． 280 B． 292 C． 360 D． 372 【示例 2】 ? (2020天津質(zhì)檢 )如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱(chēng)它為 “ 等腰四棱錐 ” ，四條側(cè)棱稱(chēng)為它的腰，以下 4 個(gè)命題中，假命題是 ( )． A．等腰四棱錐的腰與底面 所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 [審題視點(diǎn) ] 可借助幾何圖形進(jìn)行判斷． 解析 如圖 ，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即 A 正確；底面四邊形必有一個(gè)外接圓，即 C 正確；在高線上可以找到一個(gè)點(diǎn) O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即 D 正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互 補(bǔ) (若為正四棱錐則成立 )．故僅命題 B為假命題．選 B. 答案 B 三棱柱、四棱柱、正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐是常見(jiàn)的空間幾何體，也是重要的幾何模型，有些問(wèn)題可用上述幾何體舉特例解決． 【訓(xùn)練 1】 以下命題： ① 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ② 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③ 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； ④ 一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 命題 ① 錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐．命題 ② 錯(cuò)，因這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題 ③ 對(duì)．命題 ④ 錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行． 答案 B 考向二 空間幾何體的三視圖 【例 2】 ?(2020. 即 A1D 與 AC 所成的角為 60176。溫州模擬 )已知 m、 n 為兩條不同的直線， α、 β 為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是 ( )． A． m∥ n， m⊥ α? n⊥ α B． α∥ β， m? α， n? β? m∥ n C． m⊥ α， m⊥ n? n∥ α D． m? α， n? α， m∥ β， n∥ β? α∥ β 解析 選項(xiàng) A中，如圖 ① ， n∥ m， m⊥ α? n⊥ α一定成立， A正確；選項(xiàng) B中，如圖 ② ， α∥ β， m? α， n? β? m 與 n 互為異面直線， ∴ B 不正確；選項(xiàng) C 中，如圖 ③ ， m⊥ α， m⊥ n? n? α， ∴ C不正確；選項(xiàng) D中，如圖 ④ ， m? α， n? α，m∥ β， n∥ β? α與 β相交， ∴ D不正確 . 答案 A 5． (2020安徽 ) 如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是正方形， AB＝ 2EF＝ 2， EF∥ AB，EF⊥ FB， ∠ BFC＝ 90176。 AD＝ AC＝ 1， O為 AC 的中點(diǎn)， PO⊥ 平面 ABCD. 證明： AD⊥ 平面 PAC. [審題視點(diǎn) ] 只需證 AD⊥ AC，再利用線面垂直的判定定理即可． 證明 ∵∠ ADC＝ 45176。江蘇 )如圖， 在四棱錐 PABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD， AB＝ AD， ∠