空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-wenkub
2023-07-10 00:21:45 本頁(yè)面
【正文】 1)，＝(0,1,0)． ∴.答案：45176。n2＝2(－3)＋(－3)1＋5(－4)≠0，∴n1與n2不垂直，∴α與β相交但不垂直．4．(教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_(kāi)_______．解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45176。n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n，m.α∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n[備考方向要明了]考 什 么怎 么 考．、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系．(包括三垂線定理)．、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題．了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.，而平面法向量則多滲透在解答題中考查．、面位置關(guān)系，在高考有所體現(xiàn)，如2012年陜西T18，可用向量法證明．，多以解答題形式考查，并且作為解答題的第二種方法考查，如2012年北京T16，天津T17等.[歸納m＝0設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．4．直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝.5．求二面角的大小(1)如圖①，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[探究]??？?jī)僧惷嬷本€所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是[0，π]；兩異面直線所成角的范圍是；直線與平面所成角的范圍是；二面角的范圍是[0，π]，注意以上各角取值范圍的區(qū)別．6．點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離d＝.[自測(cè)其補(bǔ)角為135176?；?35176。＝11＋00＋1(－1)＝0，＝0，∴⊥，⊥.又CD∩DE＝D，∴⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCD⊥平面CDE.利用空間向量求空間角[例2] 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，F(xiàn)D1＝(－4,2,2)．設(shè)n＝(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有??x＝y(tǒng)＝－1，∴n＝(－1，－1,2)，∵向量＝(0,0,2)與平面CDE垂直，∴n與AA1所成的角θ為二面角C－DE－C1的平面角或其補(bǔ)角．∵cos θ＝＝＝，由圖知二面角C－DE－C1的平面角為銳角，∴tan θ＝.(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為β，則cos β＝＝＝.———————————————————求平面的法向量的步驟(1)設(shè)出法向量的坐標(biāo)，一般設(shè)為n＝(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組．(3)消元，通過(guò)加減消元，用一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)．(4)賦值確定平面的一個(gè)法向量．2．(2012.利用向量法求空間距離[例3] 在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)B到平面CMN的距離．[自主解答] 取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又∵BO?平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)．∴＝(3，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則取z＝1，則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝＝.———————————————————求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離的步驟(1)求平面α的法向量n；(2)在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)；(3)代入公式d＝求解．3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝．解：如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)，則有即令x＝1，則y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．點(diǎn)B到平面GEF的距離為d＝＝＝＝.2種方法——用向量證平行與垂直的方法(1)用向量證平行的方法①線線平行：證明兩直線的方向向量共線．②線面平行：；b．證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行．③面面平行：；b．轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題．(2)用向量證明垂直的方法①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．②線面垂
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1