空間向量在立體幾何中的應用-免費閱讀
【正文】 ∴A1O2＝AA＋AO2－2A1AAB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥⊥BD.(2)如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(－1，0)，P(0,0,1)．＝(－1，0)，＝(0，－1)，＝(－1,0,0)．設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即因此可取n＝(，1，)．設平面PBC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則∴可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A－PB－C的余弦值為－.3．(2013D、E分別為AB、BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．解：(1)設＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且aQ為AD的中點．(1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；(2)設點M在線段PC上，＝，求證：PA∥平面MQB；(3)在(2)的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大?。猓?1)連接BD，四邊形ABCD菱形，∵∠BAD＝60176。∠BAC＝90176。l173。＝10＋01＋10＝0.∴⊥，⊥.∴CF⊥C1F，CF⊥EF.∵C1F∩EF＝F，∴CF⊥平面C1EF.———————————————————利用向量法證明空間中的平行或垂直的問題時，建系是關鍵的一步，通常借助于幾何圖形中的垂直關系選擇坐標原點和坐標軸，并讓盡可能多的頂點在坐標軸上.用向量法證線面平行可以證明直線的一個方向向量與平面內的某一向量是共線(平行)向量，也可以證明直線的方向向量與平面的某個法向量垂直，在具體問題中可選擇較簡單的解法.1．(2013.∴兩平面所成的二面角為45176。知識整合]1．兩個重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．[探究] ，所列的方程組中有三個變量，但只有兩個方程，如何求法向量？提示：給其中一個變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標．2．空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2.l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1v2＝10＋(－1)2＋21＝0，∴v1⊥v2，從而l1⊥l2.2．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則( )A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交解析：選B ∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l(xiāng)⊥α.3．若平面α、β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則( )A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確解析：選C ∵n1＝1－2＋1＝0，∴⊥n.又∵CE?平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.(2)設平面EFC的法向量為m＝(a，b，c)，由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，∴即取m＝(－1,0,1)．∵mBD173。A1的余弦值．[快速規(guī)范審題]1．審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1兩兩垂直．2．審結論，明確解題方向觀察結論：(1)證明：AA1⊥BC，(2)求AA1的長，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值轉化為向量運算解決．3．建聯(lián)系，找解題突破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝建立空間直角坐標系(1)證明＝0，∴PA⊥EF.(2)易知＝(0,0,1)，＝(－2,1，－1)．設平面DFG的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則即令x1＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一個法向量．同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一個法向量，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由圖可知二面角D－FG－E為鈍角，∴二面角D－FG－E的余弦值為－.，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，點D是A1B1的中點，點E在A1C1上且DE⊥AE.(1)證明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．解：(1)證明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質知AA1⊥平面A1B1C1，又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.(2)如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系．不妨設AA1＝，則AB＝2，相關各點的坐標分別是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.設平面ABC1的一個法向量為n＝(x，y，z)，則有解得x＝－y，z＝－＝(1，－，)．所以，cos〈n，〉＝＝＝.由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.4．(2012＝－0＋11＋(－1)1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時＝(0，－1，z0)．又設平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，則y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一個法向量n＝.要使DP∥平
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