【正文】 麗水質(zhì)檢 ) 如圖，已知 DC⊥ 平面 ABC， EB∥ DC， AC＝ BC＝ EB＝ 2DC＝ 2， ∠ ACB＝ 120176。聊城模擬 )設(shè) a、 b、 c 表示三條不同的直線， α、 β表示兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是 ( )． A. ???c⊥ αα∥ β ? c⊥ β B. ???b? β， a⊥ bc是 a在 β內(nèi)的射影 ? b⊥ c C. ???b∥ cb? αc?α? c∥ α D. ???a∥ αb⊥ a ? b⊥ α 解析 由 a∥ α， b⊥ α可得 b與 α的位置關(guān)系有： b∥ α， b? α， b與 α相交，所以 D不正確． 答案 D 5．如圖，已知 PA⊥ 平面 ABC， BC⊥ AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為 ________． 解析 由線面垂直知，圖中直角三角形為 4個． 答案 4 考向一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例 1】 ?(2020ABcos 60176。江西 ) 過正方體 ABCDA1B1C1D1的頂點 A 作直線 l，使 l 與棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，這樣的直線 l 可以作 ( )． A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 [嘗試解答 ] 如圖，連結(jié)體對角線 AC1，顯然 AC1與棱 AB、 AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為 其他體對角線，如連結(jié) BD1，則 BD1與棱 BC、 BA、 BB1所成的角都相等， ∵ BB1∥ AA1， BC∥ AD， ∴ 體對角線 BD1與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，同理，體對角線 A1C、 DB1也與棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，過 A點分別作 BD A1C、 DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線 l 可以 作 4 條． 答案 D 第 4 講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 【 2020 年高考會這樣考】 1．考查空間直線與平面平行，面面平行的判定及其性質(zhì)． 2．以解答題的形式考查線面的平行關(guān)系． 3．考查空間中平行關(guān)系的探索性問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解答過程中敘述的步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分． 2．學(xué)會應(yīng)用 “ 化歸思想 ” 進(jìn)行 “ 線線問題、線面問題、面面問題 ” 的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問題的根源在 “ 定理 ” ． 基礎(chǔ)梳理 1． 平面與平面的位置關(guān)系有 相交 、 平行 兩種情況． 2． 直線和平面平行的判定 (1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面； (2)判定定理： a?α， b? α，且 a∥ b? a∥ α； (3)其他判定方法： α∥ β； a? α? a∥ β. 3． 直線和平面平行的性質(zhì)定理： a∥ α， a? β， α∩ β＝ l? a∥ l. 4． 兩個平面平行的判定 (1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行； (2)判定定理： a? α， b? α， a∩ b＝ M， a∥ β， b∥ β? α∥ β； (3)推論： a∩ b＝ M， a， b? α， a′ ∩ b′ ＝ M′ ， a′ ， b′ ? β， a∥ a′ ， b∥ b′? α∥ β. 5． 兩個平面平行的性質(zhì)定理 (1)α∥ β， a? α? a∥ β； (2)α∥ β， γ∩ α＝ a， γ∩ β＝ b? a∥ b. 6． 與垂直相關(guān)的平行的判定 (1)a⊥ α， b⊥ α? a∥ b； (2)a⊥ α， a⊥ β? α∥ β. 一個關(guān)系 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系： 兩個防范 (1)在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤． (2)把線面平行轉(zhuǎn)化為 線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下面命題中正確的是 ( )． ① 若一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ② 若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； ③ 若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； ④ 若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行． A． ①③ B． ②④ C． ②③④ D． ③④ 解析 ①② 中兩個平面可以相交， ③ 是兩個平面平行的定義， ④ 是兩 個平面平行的判定定理． 答案 D 2．平面 α∥ 平面 β， a? α， b? β，則直線 a， b 的位置關(guān)系是 ( )． A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 答案 D 3． (2020武漢月考 )如果兩條異面直線稱為 “ 一對 ” ，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線 ( )． A． 12 對 B． 24 對 C． 36 對 D． 48 對 解析 如圖所示，與 AB 異面的直線有 B1C1； CC1， A1D1， DD1四條，因為各棱具有相同的位置且正方體 共有 12 條棱，排除兩棱的重復(fù)計算，共有異面直線 12 42 ＝24(對 )． 答案 B 5．兩個不重合的平面可以把空間分成 ________部分． 答案 3 或 4 考向一 平面的基本性質(zhì) 【例 1】 ?正方體 ABCDA1B1C1D1中， P、 Q、 R 分別是 AB、 AD、 B1C1的中點，那么，正方體的過 P、 Q、 R 的截面圖形是 ( )． A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 [審題視點 ] 過正方體棱上的點 P、 Q、 R 的截面要和正方體的每個面有交線． 解析 如圖所示，作 RG∥ PQ交 C1D1于 G，連接 QP 并延長與 CB 交于 M，連接 MR交 BB1于 E，連接 PE、 RE為截面的部分外形． 同理連 PQ并延長交 CD于 N，連接 NG交 DD1于 F，連接 QF， FG. ∴ 截面為六邊形 PQFGRE. 答案 D 畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定．作圖時充分利用幾何體本身提供的面面 平行等條件，可以更快的確定交線的位置． 【訓(xùn)練 1】 下列如圖所示是正方體和正四面體， P、 Q、 R、 S 分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是 ________． 解析 在 ④ 圖中，可證 Q點所在棱與面 PRS 平行，因此， P、 Q、 R、 S四點不共面．可證 ① 中四邊形 PQRS為梯形； ③ 中可證四邊形 PQRS為平行四邊形； ② 中如圖所示取 A1A與 BC的中點為 M、 N可證明 PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊 形． 答案 ①②③ 考向二 異面直線 【例 2】 ?如圖所示， 正方體 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分別是 A1B B1C1的中點．問： (1)AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由； (2)D1B 和 CC1是否是異面直線？說明理由． [審題視點 ] 第 (1)問，連結(jié) MN， AC，證 MN∥ AC，即 AM 與 CN 共面；第 (2)問可采用反證法． 解 (1)不是異面直線．理由如下： 連接 MN、 A1C AC. ∵ M、 N 分別是 A1B B1C1的中點， ∴ MN∥ ∵ A1A綉 C1C， ∴ A1ACC1為平行四邊形， ∴ A1C1∥ AC， ∴ MN∥ AC， ∴ A、 M、 N、 C 在同一平面內(nèi)，故 AM 和 CN 不是異面直線． (2)是異面直線．證明如下： ∵ ABCDA1B1C1D1是正方體， ∴ B、 C、 C D1不共面． 假設(shè) D1B 與 CC1不是異面直線， 則存在平面 α，使 D1B? 平面 α， CC1? 平面 α， ∴ D1， B、 C、 C1∈ α，與 ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾． ∴ 假設(shè)不成立，即 D1B 與 CC1是異面直線． 證明兩直線為異面直線的方法 (1)定義法 (不易操作 )． (2)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面． 【訓(xùn)練 2】 在下圖中， G、 H、 M、 N 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線 GH、 MN 是異面直線的圖形有 ________(填上所有正確答案的序號 )． 解析 如題干圖 (1)中，直線 GH∥ MN； 圖 (2)中， G、 H、 N三點共面，但 M?面 GHN，因此直線 GH與 MN異面； 圖 (3)中，連接 MG， GM∥ HN，因此 GH與 MN共面； 圖 (4)中， G、 M、 N共面，但 H?面 GMN， ∴ GH與 MN異面．所以圖 (2)、 (4)中 GH與 MN異面． 答案 (2)(4) 考向三 異面直線所成的角 【例 3】 ?(2020浙江 )若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是 ( )． 解析 所給選項中， A、 C選項的正視圖、俯視圖不符合， D選項的側(cè)視圖不符合，只有選項 B符合． 答案 B 5． (2020cos 135176。東莞模擬 )某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于 ( )． π π ＋ 8 D． 12 π 解析 由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為 2，高為 2的圓柱和半徑為 1的球的組合體，則該幾 何體的體積為 π 22 2＋ 43π＝ 283 π. 答案 A 考向三 幾何體的展開與折疊 【例 3】 ?(2020第 2 講 空間幾何體的表面積與體積 【 2020 年高考會這樣考】 考查柱、錐、臺、球的體積和表面積，由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問題相結(jié)合，難度有所增大． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式，運(yùn)用這些公式解決一些簡單的問題． 基礎(chǔ)梳理 1．柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積 面 積 體 積 圓柱 S 側(cè) ＝ 2πrh V＝ Sh＝ πr2h 圓錐 S 側(cè) ＝ πrl V＝ 13Sh＝ 13πr2h＝ 13πr2 l2－ r2 圓臺 S 側(cè) ＝ π(r1＋ r2)l V＝ 13(S 上 ＋ S 下 ＋ S上 S下 )h＝ 13π(r21＋ r22＋ r1r2)h 直棱柱 S 側(cè) ＝ Ch V＝ Sh 正棱錐 S 側(cè) ＝ 12Ch′ V＝ 13Sh 正棱臺 S 側(cè) ＝ 12(C＋ C′ )h′ V＝ 13(S 上 ＋ S 下 ＋ S上 S下 )h 球 S 球面 ＝ 4πR2 V＝ 43πR3 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是 各面面積之和． (2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于 側(cè)面積與底面面積之和． 兩種方法 (1)解與球有關(guān)的組合體問題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系， 并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心或 “ 切點 ” 、 “ 接點 ” 作出截面圖． (2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形 (或幾何體 )的面積 (或體積 )通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高．這一方法回避了具體通過作圖得 到三角形 (或三棱錐 )的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )圓柱的一個底面積為 S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是 ( )． A． 4πS B． 2πS C． πS 33 πS 解析 設(shè)圓柱底面圓的半徑為 r，高為 h，則 r＝ Sπ， 又 h＝ 2πr＝ 2 πS， ∴ S 圓柱側(cè) ＝ (2 πS)2＝ 4πS. 答案 A 2． (2020廣州模擬 )如圖 1，在直角梯形 ABCD 中， ∠ ADC＝ 90176。＝ 50＝ 5 2， 故 (CP＋ PA1)min＝ 5 2. 答案 5 2 難點突破 17—— 空間幾何體的表面積和體積的求解 空間幾何體的表面積和 體積計算是高考的一個常見考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧、把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧、對旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計