空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-文庫(kù)吧
2025-06-10 00:21 本頁(yè)面
【正文】 方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線(平行)向量，也可以證明直線的方向向量與平面的某個(gè)法向量垂直，在具體問(wèn)題中可選擇較簡(jiǎn)單的解法.1．(2013安徽師大附中模擬)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.解：設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．∵F為CD的中點(diǎn)，∴F.(1)證明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)證明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，∴＝0，＝0，∴⊥，⊥.又CD∩DE＝D，∴⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCD⊥平面CDE.利用空間向量求空間角[例2] 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A為原點(diǎn)，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，F(xiàn)D1＝(－4,2,2)．設(shè)n＝(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有??x＝y(tǒng)＝－1，∴n＝(－1，－1,2)，∵向量＝(0,0,2)與平面CDE垂直，∴n與AA1所成的角θ為二面角C－DE－C1的平面角或其補(bǔ)角．∵cos θ＝＝＝，由圖知二面角C－DE－C1的平面角為銳角，∴tan θ＝.(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為β，則cos β＝＝＝.———————————————————求平面的法向量的步驟(1)設(shè)出法向量的坐標(biāo)，一般設(shè)為n＝(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組．(3)消元，通過(guò)加減消元，用一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)．(4)賦值確定平面的一個(gè)法向量．2．(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1173。BD173。C1的大?。猓?1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA1的中點(diǎn)，故DC＝＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.BC?平面BCD，故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．則＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則即可取n＝(1,1,0)．同理，設(shè)m是平面C1BD的法向量，則可取m＝(1,2,1)．從而cosn，m＝＝.故二面角A1－BD－C1的大小為30176。.利用向量法求空間距離[例3] 在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)B到平面CMN的距離．[自主解答] 取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又∵BO?平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)．∴＝(3，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則取z＝1，則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝＝.———————————————————求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離的步驟(1)求平面α的法向量n；(2)在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)；(3)代入公式d＝求解．3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝．解：如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)，則有即令x＝1，則y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．點(diǎn)B到平面GEF的距離為d＝＝＝＝.2種方法——用向量證平行與垂直的方法(1)用向量證平行的方法①線線平行：證明兩直線的方向向量共線．②線面平行：；b．證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行．③面面平行：；b．轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題．(2)用向量證明垂直的方法①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．③面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆W3種角——利用向量法求三種角的問(wèn)
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