空間向量在立體幾何中的應用-全文預覽
【正文】 三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90176。＝(－a＋c)b＝b＝－0＋11＋(－1)1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時＝(0，－1，z0)．又設平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，則y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一個法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝.(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一個法向量，此時＝(0,1,1)．設與n所成的角為θ，則cos θ＝＝ .∵二面角A－B1E－A1的大小為30176?！唷鰽BD為正三角形，又Q為AD中點，∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ，又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD.∴平面PQB⊥平面PAD. (2)連接AC交BQ于點N，如圖(1)：由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，∴＝＝.又＝，∴＝＝.∴PA∥MN.∵MN?平面MQB，PA?平面MQB， 圖(1)∴PA∥平面MQB.(3)由PA＝PD＝AD＝2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD.以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的坐標系，則各點坐標為A(1,0,0)，B(0，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)．設平面MQB的法向量n＝(x，y,1)，可得 圖(2)∵PA∥MN，∴解得n＝(，0,1)．取平面ABCD的法向量m＝(0,0,1)．cos〈m，n〉＝＝.故二面角M－BQ－C的大小為60176。＝0，∴PA⊥EF.(2)易知＝(0,0,1)，＝(－2,1，－1)．設平面DFG的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則即令x1＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一個法向量．同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一個法向量，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由圖可知二面角D－FG－E為鈍角，∴二面角D－FG－E的余弦值為－.，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，點D是A1B1的中點，點E在A1C1上且DE⊥AE.(1)證明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．解：(1)證明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質知AA1⊥平面A1B1C1，又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.(2)如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系．不妨設AA1＝，則AB＝2，相關各點的坐標分別是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.設平面ABC1的一個法向量為n＝(x，y，z)，則有解得x＝－y，z＝－＝(1，－，)．所以，cos〈n，〉＝＝＝.由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.4．(2012AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90176。A1的余弦值．[快速規(guī)范審題]1．審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1兩兩垂直．2．審結論，明確解題方向觀察結論：(1)證明：AA1⊥BC，(2)求AA1的長，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值轉化為向量運算解決．3．建聯(lián)系，找解題突破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝建立空間直角坐標系(1)證明β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．1個易錯點——利用平面法向量求二面角的易錯點利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點. 答題模板——空間向量在立體幾何中的應用[典例] (2012BD173。安徽師大附中模擬)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點．(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.解：設AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系A－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．∵F為CD的中點，∴F.(1)證明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)證明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，∴＝1－2＋1＝0，∴⊥n.又∵CE?平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.(2)設平面EFC的法向量為m＝(a，b，c)，由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，∴即取m＝(－1,0,1)．∵m或135176。v2＝10＋(－1)2＋21＝0，
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