【正文】 C 以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． 【訓(xùn)練 1】 若一 個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面 積等于 ( )． A. 3 B． 2 C． 2 3 D． 6 解析 由正視圖可知此三棱柱是一個底面邊長為 2的正三角形、側(cè)棱為 1的直三棱柱，則此三棱柱的側(cè)面積為 2 1 3＝ 6. 答案 D 考向二 幾何體的體積 【例 2】 ?(2020東莞模擬 )某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于 ( )． π π ＋ 8 D． 12 π 解析 由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為 2，高為 2的圓柱和半徑為 1的球的組合體，則該幾 何體的體積為 π 22 2＋ 43π＝ 283 π. 答案 A 考向三 幾何體的展開與折疊 【例 3】 ?(2020 CD∥ AB，AB＝ 4， AD＝ CD＝ 2，將 △ ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥ 平面 ABC，得到幾何體 DABC，如圖 2 所示． (1)求證： BC⊥ 平面 ACD； (2)求幾何體 DABC 的體積． [審題視點(diǎn) ] (1)利用線面垂直的判定定理，證明 BC 垂直于平面 ACD內(nèi)的兩條相交線即可； (2)利用體積公式及等體積法證明． (1)證明 在圖中，可得 AC＝ BC＝ 2 2， 從而 AC2＋ BC2＝ AB2，故 AC⊥ BC， 取 AC 的中點(diǎn) O，連接 DO， 則 DO⊥ AC，又平面 ADC⊥ 平面 ABC，平面 ADC∩ 平面 ABC＝ AC， DO? 平面ADC，從而 DO⊥ 平面 ABC， ∴ DO⊥ BC， 又 AC⊥ BC， AC∩ DO＝ O， ∴ BC⊥ 平面 ACD. (2)解 由 (1)可知， BC 為三棱錐 BACD 的高， BC＝ 2 2， S△ ACD＝ 2， ∴ VBACD＝ 13S△ ACD AC＝ 6， BC＝ CC1＝ 2， P 是 BC1上一動點(diǎn)，如圖所示，則 CP＋ PA1的最小值為 ________． 解析 PA1在平面 A1BC1內(nèi)， PC在平面 BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決．計算 A1B＝ AB1＝ 40， BC1＝ 2，又 A1C1＝ 6，故 △ A1BC1是 ∠ A1C1B＝90176。6cos 135176。安徽 )一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為 ( )． A． 280 B． 292 C． 360 D． 372 【示例 2】 ? (2020或 135176。杭州模擬 )用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是 ( )． A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析 當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面． 答案 C 3． (2020浙江 )若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是 ( )． 解析 所給選項中， A、 C選項的正視圖、俯視圖不符合， D選項的側(cè)視圖不符合，只有選項 B符合． 答案 B 5． (2020天津質(zhì)檢 )如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為 “ 等腰四棱錐 ” ，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下 4 個命題中，假命題是 ( )． A．等腰四棱錐的腰與底面 所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 [審題視點(diǎn) ] 可借助幾何圖形進(jìn)行判斷． 解析 如圖 ，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即 A 正確；底面四邊形必有一個外接圓，即 C 正確；在高線上可以找到一個點(diǎn) O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個頂點(diǎn)的距離相等，這個點(diǎn)即為外接球的球心，即 D 正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互 補(bǔ) (若為正四棱錐則成立 )．故僅命題 B為假命題．選 B. 答案 B 三棱柱、四棱柱、正方體、長方體、三棱錐、四棱錐是常見的空間幾何體，也是重要的幾何模型，有些問題可用上述幾何體舉特例解決． 【訓(xùn)練 1】 以下命題： ① 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ② 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③ 圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④ 一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 命題 ① 錯，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐．命題 ② 錯，因這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題 ③ 對．命題 ④ 錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行． 答案 B 考向二 空間幾何體的三視圖 【例 2】 ?(2020浙江 )若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是 ( )． 解析 A中正視圖，俯視圖不對，故 A錯． B中正視圖，側(cè)視圖不對，故 B錯． C中側(cè)視圖，俯視圖不對，故 C錯，故選 D. 答案 D 考向三 空間幾何體的直觀圖 【例 3】 ?已知正三角形 ABC 的邊長為 a，那么 △ ABC 的平面直觀圖 △ A′ B′ C′的面積為 ( )． A. 34 a2 B. 38 a2 C. 68 a2 D. 616a2 [審題視點(diǎn) ] 畫出正三角形 △ ABC 的平面直觀圖 △ A′ B′ C′ ，求 △ A′ B′ C′ 的高即可． 解析 如圖 ①② 所示的實(shí)際圖形和直觀圖． 由斜二測畫法可知， A′ B′ ＝ AB＝ a， O′ C′ ＝ 12OC＝ 34 a， 在圖 ② 中作 C′ D′ ⊥ A′ B′ 于 D′ ， 則 C′ D′ ＝ 22 O′ C′ ＝ 68 a. ∴ S△ A′ B′ C′ ＝ 12A′ B′ 山東 )右圖是 長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題： ① 存在三棱柱，其正 (主 )視圖、俯視圖如右圖； ② 存在四棱柱，其正 (主 )視圖、俯視圖如右圖； ③ 存在圓柱，其正 (主 )視圖，俯視圖如右圖．其中真命題的個數(shù)是 ( )． A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 [嘗試解答 ] 如圖 ①②③ 的正 (主 )視圖和俯視圖都與原題相同，故選 A. 答案 A 第 3 講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 【 2020 年高考會這樣考】 1．本講以考查點(diǎn)、線、面的位置 關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力． 2．有時考查應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面的問題． 3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解本講公理、推論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及等角定理． 2．異面直線的判定與證明是本部分的難點(diǎn)，定義的理解與運(yùn)用是關(guān)鍵． 基礎(chǔ)梳理 1．平面的基本性質(zhì) (1)公理 1：如果一條直線上的 兩點(diǎn) 在一個平面內(nèi)，那么這 條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)． (2)公理 2：經(jīng)過 不在同一條直線上 的三點(diǎn)，有且只有一個平面． (3)公理 3：如果兩個平面 (不重合的兩個平面 )有 一個 公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線． 推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面． 推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 2． 直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 ????? 共面直線??? 平行相交異面直線：不同在 任何 一個平面內(nèi) (2)異面直線所成的角 ① 定義：設(shè) a， b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn) O 作直線 a′ ∥ a， b′ ∥ b，把 a′ 與 b′ 所成的 銳角或直角 叫做異面直線 a， b 所成的角 (或夾角 )． ② 范圍： ??? ???0， π2 . 3．直線與平面的位置關(guān)系有 平行 、 相交 、 在平面內(nèi) 三種情況． 4．平面與平面的位置關(guān)系有 平行 、 相交 兩種情況． 5．平行公理：平行于同 一條直線 的兩條直線互相 平行． 6．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角 相等或互補(bǔ)． 兩種方法 異面直線的判定方法： (1)判定定理：平面外一點(diǎn) A 與平面內(nèi)一點(diǎn) B 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 三個作用 (1)公理 1 的作用： ① 檢驗(yàn)平面； ② 判斷直線在平面內(nèi)； ③ 由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)． (2)公理 2 的作用：公理 2 及其推論給出了確定一個平面或判斷 “ 直線 共面 ” 的方法． (3)公理 3 的作用： ① 判定兩平面相交； ② 作兩平面相交的交線； ③ 證明多點(diǎn)共線． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下列命題是真命題的是 ( )． A．空間中不同三點(diǎn)確定一個平面 B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面 C．一條直線和一個點(diǎn)能確定一個平面 D．梯形一定是平面圖形 解析 空間中不共線的三點(diǎn)確定一個平面， A錯；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個平面， B錯；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面， C錯；故D正確． 答案 D 2．已知 a， b 是異面直線，直線 c 平行于直線 a，那么 c 與 b( )． A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 解析 由已知直線 c與 b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若 b∥ c，則 a∥ b，與已知 a、 b為異面直線相矛盾 . 答案 C 3． (2020武漢月考 )如果兩條異面直線稱為 “ 一對 ” ，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線 ( )． A． 12 對 B． 24 對 C． 36 對 D． 48 對 解析 如圖所示，與 AB 異面的直線有 B1C1； CC1， A1D1， DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w 共有 12 條棱，排除兩棱的重復(fù)計算，共有異面直線 12 42 ＝24(對 )． 答案 B 5．兩個不重合的平面可以把空間分成 ________部分． 答案 3 或 4 考向一 平面的基本性質(zhì) 【例 1】 ?正方體 ABCDA1B1C1D1中， P、 Q、 R 分別是 AB、 AD、 B1C1的中點(diǎn)，那么，正方體的過 P、 Q、 R 的截面圖形是 ( )． A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 [審題視點(diǎn) ] 過正方體棱上的點(diǎn) P、 Q、 R 的截面要和正方體的每個面有交線． 解析 如圖所示，作 RG∥ PQ交 C1D1于 G，連接 QP 并延長與 CB 交于 M，連接 MR交 BB1于 E，連接 PE、 RE為截面的部分外形． 同理連 PQ并延長交 CD于 N，連接 NG交 DD1于 F，連接 QF， FG. ∴ 截面為六邊形 PQFGRE. 答案 D 畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點(diǎn)即可確定．作圖時充分利用幾何體本身提供的面面 平行等條件，可以更快的確定交線的位置． 【訓(xùn)練 1】 下列如圖所示是正方體和正四面體， P、 Q、 R、 S 分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個點(diǎn)共面的圖形是 ________． 解析 在 ④ 圖中，可證 Q點(diǎn)所在棱與面 PRS 平行，因此， P、 Q、 R、 S四點(diǎn)不共面．可證 ① 中四邊形 PQRS為梯形； ③ 中可證四邊形 PQRS為平行四邊形； ② 中如圖所示取 A1A與 BC的中點(diǎn)為 M、 N可證明 PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊 形． 答案 ①②③ 考向二 異面直線 【例 2】 ?如圖所示， 正方體 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分別是 A1B B1C1的中點(diǎn)．問： (1)AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由； (2)D1B 和 CC1是否是異面直線？說明理由． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問，連結(jié) MN， AC，證 MN∥ AC，即 AM 與 CN 共面；第 (2)問可采用反證法． 解 (1)不是異面直線．理由如下： 連接 MN、 A1C AC. ∵ M、 N 分別是 A1B B1C1的中點(diǎn)， ∴ MN∥ ∵ A1A綉 C1C， ∴ A1ACC1為平行四邊形， ∴ A1C1∥ AC， ∴ MN∥ AC， ∴ A、 M、 N、 C 在同一平面內(nèi)，故 AM 和 CN 不是異面直線．