利用空間向量解決立體幾何問題-在線瀏覽
2025-07-25 16:29本頁面
【正文】 重心？解：（1）證明：平面，．以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．設(shè)，則．設(shè)，則．為的中點，．，．，平面．（2），即，可求得平面的法向量．．設(shè)與平面所成的角為，則．與平面所成的角為．（3）的重心，平面，．又，．．，即．反之，當時，三棱錐為正三棱錐．在平面內(nèi)的射影為的重心．，G10，G11[2011.(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；(2)設(shè)AB＝AP.①若直線PB與平面PCD所成的角為30176?！郈到平面B1DP的距離d＝＝.[2011遼寧卷] 如圖1－8，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.圖1－8(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．，G10，G11[2011AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值． 圖1－9，G11[2011，G10[2011PA＝PD＝，PB＝2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．(1)證明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．二：利用空間向量求空間距離（1）點面距離的向量公式平面的法向量為n，點P是平面外一點，點M為平面內(nèi)任意一點，則點P到平面的距離d就是 ，即d=.11．已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點．點到平面的距離（ ）A． B． C． D． [解析] 不妨設(shè)正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為2，建立如右圖所示空間直角坐標系，其中x軸垂直于AB，(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，則＝，＝(，1,2)，設(shè)平面B1DC的法向量為n＝(x，y,1)，由，解得n＝(－，1,1)．又∵＝，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.20．(本小題滿分12分)長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中點，求：(1)M到直線PQ的距離；(2)M到平面AB1P的距離．圖1－5[2011AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA1.(1)求證：CD＝C1D； (2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求點C到平面B1DP的距離．（2010江西理數(shù)）20. （本小題滿分12分）如圖△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD。（2）線面、面面距離的向量公式平面∥直線l，平面的法向量為n，點M∈、P∈l，平面與直線l間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d= .平面∥β，平面的法向量為n，點M∈、P∈β，平面與平面β的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=35.（2009重慶卷文）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）如題（18）圖，在五面體中，∥，四邊形為平行四邊形，平面，．求：（Ⅰ）直線到平面的距離；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．22．(本小題滿分14分)(2010理，19)如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．(1)求直線AD與平面PBC的距離；(2)若AD＝，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．[解析] 解法一：(1) 如下圖，在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離．因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，故AE⊥PB.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥
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