利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題-文庫(kù)吧資料
2025-06-13 16:29本頁(yè)面
【正文】 平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）求二面角的大小。解法一：[2011 （Ⅰ）求證：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角PACD的大?。á螅┰冢á颍┑臈l件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E， 使得BE∥平面PAC。知S△EOB＝.而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故S△OED＝.所以S四邊形OBED＝S△EOB＋S△OED＝.過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F－OBED的高，且FQ＝，所以VF－OBED＝FQ＝0，又＝(，0,0)，＝(，－，)，故所以x2＝0，z2＝y(tǒng)2，可取y2＝1，則n2＝(0,1，)．故cos〈n1，n2〉＝＝.所以二面角A－EC－D的平面角的余弦值為.[點(diǎn)評(píng)] 利用法向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)要注意正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出法向量，從而表示出所要求的距離及角．（3）異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.三：利用空間向量解證平行、垂直關(guān)系圖1－4，G7[2011＝0.又＝(，0)，＝(，0，)，故所以y1＝－x1，z1＝－＝－，則n1＝(－，2，)．設(shè)平面DEC的法向量n2＝(x2，y2，z2)，則n2＝0，所以AE⊥平面PBC.又由AD∥BC知AD∥平面PBC，故直線 AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即為||＝.(2)因?yàn)閨|＝，則D(0，0)，C(，0)．設(shè)平面AEC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，則n1sin＝.因?yàn)锳E⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，F(xiàn)G綊AE，從而FG＝，且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn)．△ADC中，DG＝AC＝＝.所以cos∠DFG＝＝.解法二：(1)如右圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.設(shè)D(0，a,0)，則B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，0，－)．則重慶（1） 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；（2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。四川卷] 如圖1－5，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90176。廣東卷] 如圖1－3，在錐體P－ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB＝60176。湖北卷] 如圖1－4，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．(1)當(dāng)CF＝1時(shí)，求證：EF⊥A1C；(2)設(shè)二面角C－AF－E的大小為θ，求tanθ的最小值．圖1－4（2010浙江理數(shù)）（20）（本題滿分15分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。課標(biāo)全國(guó)卷] 如圖1－9，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60176。天津卷] 如圖1－8所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN⊥平面A1B1C1，求線段BM的長(zhǎng)． 圖1－8，G11[2011求線段AB的長(zhǎng)；②在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到P、B、C、D的距離都相等？說(shuō)
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