空間向量法解決立體幾何問題全面總結(jié)-文庫吧資料
2024-12-01 22:52本頁面
【正文】 ?設(shè)平面 AED的法向量為 n1=(x,y,z)得 )1,0,2(?AE)0,2,0(?AD于是 ， ?設(shè)：正方體的棱長為 2, ?那么 E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ? (1)兩異面直線的夾角 ? 利用向量法求兩異面直線所成的夾角 ,不用再把這兩條異面直線平移 ,求出兩條異面直線的方向向量 ,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補 ,我們僅取銳角或直角就行了 . ? 例 5如圖在正方體 ABCDA1B1C1D1中 ,M是AB的中點 ,則對角線 DB1與 CM所成角的余弦值為 _____. B C A M x z y B1 C1 D1 A1 C D ? 解 : 以 A為原點建立如圖所示的直角坐標系 A xyz, 設(shè)正方體的棱長為 2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0), 30153452444041042 ?????????????∴ cosθ =|cosα| CM1DB?設(shè) DB1與 CM所成角為 θ, 與 所成角為 α, )0,2,1( ???CM )2,2,2(1 ??DB于是： ? (2)直線與與平面所成的角 ? 若 n是平面 α的法向量 , a是直線 L的方向向量 ,設(shè) L與 α所成的角 θ, n與 a所成的角 α ? 則 θ= α 或 θ= α ? ? ? ? ? 于是 , ? 因此 θ θ n α α |||||||||||||c o s|si n nananana??????? ??||||||ar cs innana????2?2?n a a ? 例 6正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長為 a,高為 ，求 AC1與側(cè)面 ABB1A1所成的角。 ? (2)AB1 ∥ 平面 DBC1 A1 C1 B1 A C B E D z x y ? 解：以 D為原點， DA為 x軸， DB為 y軸建立空間直角坐標系 ? A(1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). ? 設(shè)平面 DBC1的法向量為 n=(x,y,z),則 ? 解之得 ， ? 取 z = 1得 n=(2,0,1) ? (1) = n,從而 A1E ⊥ 平面 DBC1 ? (2) ,而 n =2+0+2=0 ? ∴ AB1 ∥ 平面 DBC1 33??????0302yzx??????02yzx)1,0,2(1 ??EA)2,3,1(1 ?AB ?1AB? (3)平面與平面的位置關(guān)系 ? 平面 α的法向量為 n1 ,平面 β的法向量為 n2 ? ? ? ? ① 若 n1∥ n2,即 n1=λ
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