空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-文庫吧資料
2025-07-01 00:21本頁面
【正文】 E，AA1∩AE＝A，所以DE⊥?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.(2)如圖所示，設(shè)O是AC的中點，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AA1＝，則AB＝2，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.設(shè)平面ABC1的一個法向量為n＝(x，y，z)，則有解得x＝－y，z＝－＝(1，－，)．所以，cos〈n，〉＝＝＝.由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.4．(2012及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|＝1，以D為坐標(biāo)原點，以，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，∴＝，＝(1,0,0)，∴與夾角的余弦值為cos〈，〉＝＝＝.2．(2013AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90176。＝0，?(5分)因此⊥，即AA1⊥BC.?(6分)求出cos〈n1，n2〉＝后，不判斷二面角大小直接得出結(jié)論從而失誤.(2)因為＝(0,3，－4)，所以||＝5，即AA1＝5.?(8分)(3)設(shè)平面A1BC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，又因為＝(－1，－2,4)，＝(1，－2,4)，?(9分)所以?(10分)即?令z1＝1，則n1＝(0,2,1)．又因為平面ABC⊥z軸，所以取平面ABC的法向量為n2＝(0,0,1)，不注意條件“z軸⊥平面ABC”的應(yīng)用，增大運(yùn)算量.則cos〈n1，n2〉＝＝＝，?(11分)所以二面角A－BC－A1的余弦值為－.?(12分)[答題模板速成]利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟：第一步 理清題意利用條件分析問題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系?第二步 確定相關(guān)點的坐標(biāo)結(jié)合建系過程與圖形，準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點的坐標(biāo)?第三步 確立平面的法向量利用點的坐標(biāo)求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的一個方向向量為該平面的法向量?第四步 轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證，求解?第五步 問題還原結(jié)合條件與圖形，作出結(jié)論(注意角的范圍)?第六步 反思回顧回顧檢查建系過程、坐標(biāo)是否有錯及是否忽視了所求角的范圍而寫錯結(jié)論一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60176。A1的余弦值．[快速規(guī)范審題]1．審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1兩兩垂直．2．審結(jié)論，明確解題方向觀察結(jié)論：(1)證明：AA1⊥BC，(2)求AA1的長，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解決．3．建聯(lián)系，找解題突破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝建立空間直角坐標(biāo)系(1)證明滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖②所示的空間圖形．對此空間圖形解答下列問題．(1)證明：AA1⊥BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角A173。β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．1個易錯點——利用平面法向量求二面角的易錯點利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(bǔ)(兩個法向量同時指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點. 答題模板——空間向量在立體幾何中的應(yīng)用[典例] (2012.利用向量法求空間距離[例3] 在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分別為AB、SB的中點，如圖所示，求點B到平面CMN的距離．[自主解答] 取AC的中點O，連接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又∵BO?平面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)．∴＝(3，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則取z＝1，則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．∴點B到平面CMN的距離d＝＝.———————————————————求平面α外一點P到平面α的距離的步驟(1)求平面α的法向量n；(2)在平面α內(nèi)取一點A，確定向量的坐標(biāo)；(3)代入公式d＝求解．3．已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝．解：如圖所示，以C為原點，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)，則有即令x＝1，則y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．點B到平面GEF的距
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