【正文】 cm)＝ OC， 故原圖形為菱形． 答案 C 閱卷報(bào)告 9—— 忽視幾何體的放置對(duì)三視圖的影響致錯(cuò) 【問(wèn)題診斷】 空間幾何體的三視圖是該幾何體在兩兩垂直的三個(gè)平面上的正投影 .同一幾何體擺放的角度不同，其三視圖可能不同，有的考生往往忽視這一點(diǎn) . 【防范措施】 應(yīng)從多角度細(xì)心觀察 . 【 示例 】 ?一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的 ________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào) )． ① 三棱錐； ② 四棱錐； ③ 三棱柱； ④ 四棱柱； ⑤ 圓錐； ⑥ 圓柱． 錯(cuò)因 忽視幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響，漏選 ③ .實(shí)錄 ①②⑤ 正解 ① 三棱錐的正視圖是三角形； ② 當(dāng)四棱錐的底面是四邊形放置時(shí)，其正視圖是三角形； ③ 把三棱柱某一側(cè)面當(dāng)作底面放置，其底面正對(duì)著我們的視線時(shí)，它的正視圖是三角形； ④ 對(duì)于四棱柱，不論怎樣放置，其正視圖都不可能是三角形； ⑤ 當(dāng)圓錐的底面水平放置時(shí)，其正視圖是三角形； ⑥ 圓柱不論怎樣放置，其正視圖也不可能是三角形． 答案 ①②③⑤ 【試一試】 (2020全國(guó)新課標(biāo) )在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 ( )． [審題視點(diǎn) ] 由正視圖和俯視圖想到三棱錐和圓錐 ． 解析 由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體應(yīng)為一個(gè)半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面 (與半圓錐的軸截面為同一三角形 )垂直于底面的三棱錐的組合體，故其側(cè)視圖應(yīng)為 D. 答案 D (1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形． (2)在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，能看見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，擋住的線要畫(huà)成虛線． 【訓(xùn)練 2】 (2020天津 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 (單位： m)則 該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. 解析 由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為 1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為 1，高為 3，所以該幾何體的體積為 3 2 1＋ 13π 3＝ 6＋ π(m3)． 答案 6＋ π 考向一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例 1】 ?(2020陜西 )某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 ( )． A． 8－ 2π3 B． 8－ π3 C． 8－ 2π 解析 圓錐的底面半徑為 1，高為 2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即 V＝ 22 2－ 13 π 12 2＝ 8－ 23π，正確選項(xiàng)為 A. 答案 A 4． (2020已知圖形中平行于 x 軸、 y 軸的線段，在直觀圖中平行于 x′ 軸、 y′ 軸．已知圖形中平行于 x 軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度 不變 ，平行于 y 軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)?原來(lái)的一半． (2)畫(huà)幾何體的高 在已知圖形中過(guò) O 點(diǎn)作 z 軸垂直于 xOy 平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的 z′ 軸，也垂直于 x′ O′ y′ 平面，已知圖形中平行于 z 軸的線段，在直觀圖中仍平行于 z′ 軸且長(zhǎng)度 不 變． 一個(gè)規(guī)律 三視圖的長(zhǎng)度特征： “ 長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊 ” ，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫(huà)法． 兩個(gè)概念 (1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐 ．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下列說(shuō)法正確的是 ( )． A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐 D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 答案 D 2． (2020全國(guó)新課標(biāo) )已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的 316，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 ________． 第 1 講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 【 2020 年高考會(huì)這樣考】 1．幾何體的展開(kāi)圖、幾何體的三視圖仍是高考的熱點(diǎn)． 2．三視圖和其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起命題是新教材中考查學(xué)生三視圖及幾何量計(jì)算的趨勢(shì) ． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．備考中，要重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型． 2．要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(zhǎng) (正 )方體、三棱錐等幾何體的三視圖． 基礎(chǔ)梳理 1．多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都 互相平行 ，上下底面是 全等 的多邊形． (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè) 公共頂點(diǎn) 的三角形． (3)棱臺(tái)可由 平行于底面 的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形． 2． 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞 一邊所在直線 旋 轉(zhuǎn)一周得到． (2)圓錐可以由直角三角形繞 一條直角邊所在直線 旋轉(zhuǎn)一周得到． (3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞 直角腰所在直線 旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞 上下底面中心所在直線 旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由 平行于 底面的平面截圓錐得到． (4)球可以由半圓面繞 直徑 旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到． 3． 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括 正視圖 、 側(cè)視圖 、 俯視圖． 4． 空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基 本步驟是： (1)畫(huà)幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的 x 軸、 y 軸，兩軸相交于點(diǎn) O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的 x′ 軸、 y′ 軸，兩軸相交于點(diǎn) O′ ，且使 ∠ x′ O′ y′ ＝ 45176。＝ 50＝ 5 2， 故 (CP＋ PA1)min＝ 5 2. 答案 5 2 難點(diǎn)突破 17—— 空間幾何體的表面積和體積的求解 空間幾何體的表面積和 體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧、把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧、對(duì)旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過(guò)方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計(jì)算難點(diǎn)的關(guān)鍵． 【示例 1】 ? (2020 2的直角三角形．鋪平平 面 A1BC平面 BCC1，如圖所示． CP＋ PA1≥ A1C. 在 △ AC1C中，由余弦定理得 A1C＝ 62＋ ? 2?2－ 2BC＝13 2 2 2＝4 23 ， 由等體積性可知，幾何體 DABC 的體積為 4 23 . (1)有關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形 (折前的平面圖形和折疊后的空間圖形 )各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為 平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題． 【訓(xùn)練 3】 已知 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面為直角三角形， ∠ ACB＝ 90176。廣州模擬 )如圖 1，在直角梯形 ABCD 中， ∠ ADC＝ 90176。廣東 )如圖，某幾何體的正視圖 (主視圖 )是平行四邊形，側(cè)視圖 (左視圖 )和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ( )． A． 18 3 B． 12 3 C． 9 3 D． 6 3 [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解． 解析 該幾何體為一個(gè)斜棱柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為 3的正方形，高為 3，故 V＝ 3 3 3＝ 9 3. 答案 C 以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān) 鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解． 【訓(xùn)練 2】 (20203＝ 12π. 答案 12π 考向一 幾何體的表面積 【例 1】 ?(2020北京 )某四面體的三視圖如圖所 示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是 ( )． A． 8 B． 6 2 C． 10 D． 8 2 解析 由三視圖可知，該幾何體的四個(gè)面都是直角三角形，面積分別為 6,6 2，8,10，所以面積最大的是 10，故選擇 C. 答案 C 4． (2020第 2 講 空間幾何體的表面積與體積 【 2020 年高考會(huì)這樣考】 考查柱、錐、臺(tái)、球的體積和表面積，由原來(lái)的簡(jiǎn)單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問(wèn)題相結(jié)合，難度有所增大． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式，運(yùn)用這些公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題． 基礎(chǔ)梳理 1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積 面 積 體 積 圓柱 S 側(cè) ＝ 2πrh V＝ Sh＝ πr2h 圓錐 S 側(cè) ＝ πrl V＝ 13Sh＝ 13πr2h＝ 13πr2 l2－ r2 圓臺(tái) S 側(cè) ＝ π(r1＋ r2)l V＝ 13(S 上 ＋ S 下 ＋ S上 S下 )h＝ 13π(r21＋ r22＋ r1r2)h 直棱柱 S 側(cè) ＝ Ch V＝ Sh 正棱錐 S 側(cè) ＝ 12Ch′ V＝ 13Sh 正棱臺(tái) S 側(cè) ＝ 12(C＋ C′ )h′ V＝ 13(S 上 ＋ S 下 ＋ S上 S下 )h 球 S 球面 ＝ 4πR2 V＝ 43πR3 (1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是 各面面積之和． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于 側(cè)面積與底面面積之和． 兩種方法 (1)解與球有關(guān)的組合體問(wèn)題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系， 并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心或 “ 切點(diǎn) ” 、 “ 接點(diǎn) ” 作出截面圖． (2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形 (或幾何體 )的面積 (或體積 )通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高．這一方法回避了具體通過(guò)作圖得 到三角形 (或三棱錐 )的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值． 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )圓柱的一個(gè)底面積為 S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是 ( )． A． 4πS B． 2πS C． πS 33 πS 解析 設(shè)圓柱底面圓的半徑為 r，高為 h，則 r＝ Sπ， 又 h＝ 2πr＝ 2 πS， ∴ S 圓柱側(cè) ＝ (2 πS)2＝ 4πS. 答案 A 2． (2020東北三校聯(lián)考 )設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2a、 a、 a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 ( )． A． 3πa2 B． 6πa2 C． 12πa2 D． 24πa2 解析 由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2a、 a、 a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為?2a?2＋ a2＋ a2＝ 2R 等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線， ∴ 2R＝ 6a.∴ S 球 ＝ 4πR2＝ 6πa2. 答案 B 3． (2020湖南 )設(shè) 右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ( )． ＋ 12 ＋ 18 C． 9π＋ 42 D． 36π＋ 18 解析 該幾何體是由一個(gè)球與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，球的直徑為 3，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為 3的正方形，高為 2，故所求體積為 2 32＋ 43π??? ???32 3＝ 92π＋ 18. 答案 B 5．若一個(gè)球的體積為 4 3π，則它的表面積為 ________． 解析 V＝ 4π3 R3＝ 4 3π， ∴ R＝ 3， S＝ 4πR2＝ 4π安徽 )一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 ( )． A． 48 B． 32＋ 8 17 C． 48＋ 8 17 D． 80 [審題視點(diǎn) ] 由三視圖還原幾何體，把圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的尺寸計(jì)算表面積． 解析 換個(gè)視角 看問(wèn)題，該幾何體可以看成是底面為等腰梯形，高為 4的直棱柱，且等腰梯形的兩底分別為 2,4，高為 4，故腰長(zhǎng)為 17，所以該幾何體的表面積為48＋ 8 17. 答案