立體幾何復(fù)習(xí)講義-文庫(kù)吧資料
2025-06-13 21:19本頁(yè)面
【正文】 面距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離等. 一題兩法，支持新課程改革. 、垂直位置關(guān)系的論證 證明空間線面平行或垂直需要注意以下幾點(diǎn)： (1)理清平行、垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路. (3)立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一.(4)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮，應(yīng)用時(shí)需要先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，. 主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算. (1)兩條異面直線所成的角①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線. ②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系. ③向量法：直接利用向量的數(shù)量積公式cos=（注意向量的方向）.(2)直線和平面所成的角①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線、找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算.②用公式計(jì)算sin= (PM 直線l，M∈面, 是l與所成的角，是 面的法向量）. (3)二面角 ①平面角的作法：求兩平面所成的二面角，就是要求出它的平面角，作二面角的平面角關(guān)鍵在于尋求棱上一點(diǎn)出發(fā)的兩條垂線（分別位于兩個(gè)平面內(nèi)）．但如果兩垂線不同時(shí)出現(xiàn)于特殊位置上，就需要構(gòu)思出二面角的平面角．構(gòu)思的一般方法是：（1）利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)分別作另一個(gè)平面的垂線、棱的垂線，連結(jié)兩個(gè)垂足，可以得到二面角的平面角；（2）尋找（或證明）棱垂直于過(guò)棱上一點(diǎn)的兩條相交直線（分別位于兩個(gè)面內(nèi)）所確定的平面．②平面角計(jì)算法： (ⅰ)找到平面角，然后在三角形中計(jì)算（解三角形）或用向量計(jì)算. (ⅱ)射影面積法： (ⅲ)向量夾角公式：*求平面的法向量：①找；②求：設(shè)，為平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量，=(x,y,1)為的法向量, 則由方程組，可求得法向量. (1)兩點(diǎn)間距離公式（線段的長(zhǎng)度） (2)求點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點(diǎn)到直線的距離.(可用向量法來(lái)計(jì)算) (3)求兩條異面直線間距離，一般先找出其公垂線，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解（這種情形高考不作要求）.(4)求點(diǎn)到平面的距離，一般找出（或作出）過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時(shí)直接利用已知點(diǎn)求距離比較困難時(shí)，我們可以把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點(diǎn)上去求“點(diǎn)到平面的距離”.求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解.【難點(diǎn)突破1】尋找二面角的平面角的方法一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1 在的二面角的兩個(gè)面內(nèi)，分別有和兩點(diǎn)．已知和到棱的距離分別為2和4，且線段，試求：（1）直線與棱所構(gòu)成的角的正弦值；（2）直線與平面所構(gòu)成的角的正弦值． 分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪兒．如果解決了這個(gè)問題，這道題也就解決了一半．根據(jù)題意，在平面內(nèi)作；在平面內(nèi)作，連結(jié)、．可以證明，則由二面角的平面角的定義，可知為二面角的平面角．以下求解略．二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角例2 如圖，在平面內(nèi)有一條直線與平面成，與棱成，求平面與平面的二面角的大?。治觯赫叶娼堑钠矫娼牵蛇^(guò)作；平面，連結(jié)．由三垂線定理可證，則為二面角的平面角
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