【正文】 E， F 分別是 AP， AD 的中點(diǎn)．求證： (1)直線 EF∥ 平 面 PCD； (2)平面 BEF⊥ 平面 PAD. 錯(cuò)因 在運(yùn)用判定定理時(shí)漏掉關(guān)鍵條件致使推理不嚴(yán)謹(jǐn)致誤． 實(shí)錄 (1)在 △ PAD 中，因?yàn)?E， F 分別為 AP、 AD 的中點(diǎn)，所以 EF∥ PD，所以EF∥ 平面 PCD. (2)△ ABD 為正三角形， ∴ BF⊥ AD， 又平面 PAD⊥ 平面 ABCD ∴ BF⊥ 平面 PAD， ∴ 平面 BEF⊥ 平面 PAD. 正解 (1)在 △ PAD 中，因?yàn)?E， F 分別為 AP， AD 的中點(diǎn)，所以 EF∥ PD. 又因?yàn)?EF?平面 PCD， PD? 平面 PCD，所以直線 EF∥ 平面 PCD. (2)如圖，連結(jié) BD. 因?yàn)?AB＝ AD， ∠ BAD＝ 60176。P， Q 分別 為 AE， AB 的中點(diǎn)． (1)證明： PQ∥ 平面 ACD； (2)求 AD 與平面 ABE 所成角的正弦值． (1)證明 因?yàn)?P， Q 分別為 AE， AB 的中點(diǎn)，所以 PQ∥ EB. 又 DC∥ EB，因此 PQ∥ DC， PQ?平面 ACD， DC? 平面 ACD，從而 PQ∥ 平面ACD. (2)解 如圖，連接 CQ， DP. 因?yàn)?Q 為 AB 的中點(diǎn)，且 AC＝ BC， 所以 CQ⊥ AB. 因?yàn)?DC⊥ 平面 ABC， EB∥ DC， 所以 EB⊥ 平面 ABC. 因此 CQ⊥ EB，又 AB∩ EB＝ B， 故 CQ⊥ 平面 ABE. 由 (1)有 PQ∥ DC，又 PQ＝ 12EB＝ DC， 所以四邊形 CQPD 為平行四邊形，故 DP∥ CQ， 因此 DP⊥ 平面 ABE， ∠ DAP 為 AD 和平面 ABE 所成的角， 在 Rt△ DPA中， AD＝ 5， DP＝ 1， sin∠ DAP＝ 55 . 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值為 55 . 閱卷報(bào)告 11—— 證明過(guò)程推理不嚴(yán)密而丟分 【問(wèn)題診斷】 高考對(duì)空間線面關(guān)系的考查每年 必有一道解答題，難度為中低檔題，大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分，往往因?yàn)橥评聿粐?yán)密，跳步作答所致 . 【防范措施】 解題過(guò)程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求 .每步推理要有根有據(jù) .計(jì)算題要有明確的計(jì)算過(guò)程，不可跨度太大，以免漏掉得分點(diǎn) .引入數(shù)據(jù)要明確、要寫(xiě)明已知、設(shè)等字樣 .要養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣 . 【 示例 】 ?(2020. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步： (1)找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成； (2)計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解． 【訓(xùn)練 4】 (2020無(wú)錫模擬 ) 如圖，四棱錐 PABCD 的底面是正方形， PD⊥ 底面 ABCD，點(diǎn) E 在棱 PB 上． (1)求證：平面 AEC⊥ 平面 PDB； (2)當(dāng) PD＝ 2AB，且 E 為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，求 AE 與平面 PDB 所成的角的大小． [審題視點(diǎn) ] (1)轉(zhuǎn)化為證明 AC⊥ 平面 PDB； (2)AE 與平面 PDB 所成的角即為 AE與它在平面 PDB 上的射影所成的角． (1)證明 ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥ BD.∵ PD⊥ 底面 ABCD， ∴ PD⊥ PD∩ BD＝ D， ∴ AC⊥ 平面 AC? 平面 AEC， ∴ 平面 AEC⊥ 平面 PDB. (2)解 設(shè) AC∩ BD＝ O，連接 OE. 由 (1)知， AC⊥ 平面 PDB 于點(diǎn) O， ∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所成的角． ∵ 點(diǎn) O、 E 分別為 DB、 PB 的中點(diǎn)， ∴ OE∥ PD，且 OE＝ 12PD. 又 ∵ PD⊥ 底面 ABCD， ∴ OE⊥ 底面 ABCD， ∴ OE⊥ AO. 在 Rt△ AOE 中， OE＝ 12PD＝ 22 AB＝ AO， ∴∠ AEO＝ 45176。且 AD＝ AC＝ 1. ∴∠ DAC＝ 90176。天津改編 )如圖， 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， ∠ ADC＝ 45176。蘭州模擬 )用 a， b， c 表示三條不同的直線， γ 表示平面，給出下列命題： ① 若 a∥ b， b∥ c，則 a∥ c； ② 若 a⊥ b， b⊥ c，則 a⊥ c； ③ 若 a∥ γ， b∥ γ，則 a∥ b； ④ 若 a⊥ γ， b⊥ γ，則 a∥ b. 其中真命題的序號(hào)是 ( )． A． ①② B． ②③ C． ①④ D． ③④ 解析 由公理 4知 ① 是真命題．在空間 內(nèi) a⊥ b， b⊥ c，直線 a、 c的關(guān)系不確定，故 ② 是假命題． 由 a∥ γ， b∥ γ，不能判定 a、 b的關(guān)系，故 ③ 是假命題． ④ 是直線與平面垂直的性質(zhì)定理． 答案 C 4． (2020； ② 平面幾何中證明線線垂直的方法； ③ 線面垂直的性質(zhì)： a⊥ α， b? α? a⊥ b； ④ 線面垂直的性質(zhì)： a⊥ α， b∥ α? a⊥ b. (2)證明線面垂直的方法 ① 線面垂直的定義： a 與 α 內(nèi)任何直線都垂直 ? a⊥ α； ② 判定定理 1： ???m、 n? α， m∩ n＝ Al⊥ m， l⊥ n ? l⊥ α； ③ 判定定理 2： a∥ b， a⊥ α? b⊥ α； ④ 面面平行的性質(zhì)： α∥ β， a⊥ α? a⊥ β； ⑤ 面面垂直的性質(zhì)： α⊥ β， α∩ β＝ l， a? α， a⊥ l? a⊥ β. (3)證明面面垂直的方法 ① 利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角； ② 判 定定理： a? α， a⊥ β? α⊥ β. 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下列條件中，能判定直線 l⊥ 平面 α 的是 ( )． A． l 與平面 α 內(nèi)的兩條直線垂直 B． l 與平面 α 內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直 C． l 與平面 α 內(nèi)的某一條直線垂直 D． l 與平面 α 內(nèi)任意一條直線垂直 解析 由直線與平面垂直的定義，可知 D正確． 答案 D 2． (2020 BF＝ FC， H 為 BC 的中點(diǎn)． (1)求證： FH∥ 平面 EDB； (2)求證： AC⊥ 平面 EDB； (3)求四面體 BDEF 的體積． [嘗試解答 ] (1)證明 設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) G，則 G 為 AC 的中點(diǎn)．連 EG， GH，由于 H 為 BC 的中點(diǎn)，故 GH 綉 12AB. 又 EF 綉 12AB， ∴ EF 綉 GH. ∴ 四邊形 EFHG 為平行四邊形． ∴ EG∥ FH，而 EG? 平面 EDB， ∴ FH∥ 平面 EDB. (2)證明 由四邊形 ABCD 為正方形，有 AB⊥ BC. 又 EF∥ AB， ∴ EF⊥ BC. 而 EF⊥ FB， ∴ EF⊥ 平面 BFC， ∴ EF⊥ FH. ∴ AB⊥ BF＝ FC， H 為 BC 的中點(diǎn)， ∴ FH⊥ BC.∴ FH⊥ 平面 ABCD. ∴ FH⊥ FH∥ EG， ∴ AC⊥ EG. 又 AC⊥ BD， EG∩ BD＝ G， ∴ AC⊥ 平面 EDB. (3)解 ∵ EF⊥ FB， ∠ BFC＝ 90176。＝ 3AD2，所以 AD2＋ BD2＝ AB2， 因此 AD⊥ BD.(4 分 ) 又 AD∩ D1D＝ D， 所以 BD⊥ 平面 ADD1A1. 又 AA1? 平面 ADD1A1， 故 AA1⊥ BD.(6 分 ) (2)如圖，連結(jié) AC， A1C1， 設(shè) AC∩ BD＝ E，連結(jié) EA1， 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為平行四邊形， 所以 EC＝ 12AC.(8 分 ) 由棱臺(tái)定義及 AB＝ 2AD＝ 2A1B1知 A1C1∥ EC 且 A1C1＝ EC，所以四邊形 A1ECC1為平行四邊形， (10 分 ) 因此 CC1∥ EA1. 又因?yàn)?EA1? 平面 A1BD， CC1?平面 A1BD， 所以 CC1∥ 平面 A1BD.(12 分 ) 證明線面關(guān)系不能僅僅考慮線面關(guān)系的判定和性質(zhì)，更要注意對(duì)幾何體的幾何特征的靈活應(yīng)用．證明的依據(jù)是空間線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理．另外根據(jù)幾何體的數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算也可得到線線垂直的關(guān)系，所以要注意對(duì)幾何體中的數(shù)據(jù)的正確利用． 【試一試】 (2020 在 △ ABD 中，由余弦定理得 BD2＝ AD2＋ AB2－ 2AD山東 )如圖， 在四棱臺(tái) ABCDA1B1C1D1中， D1D⊥ 平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四邊形， AB＝ 2AD， AD＝ A1B1， ∠ BAD＝ 60176。衡陽(yáng)質(zhì)檢 )在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E 是 DD1的中點(diǎn)，則 BD1與平面 ACE 的位置關(guān)系為 ________． 解析 如圖． 連接 AC、 BD交于 O 點(diǎn)，連結(jié) OE，因?yàn)?OE∥ BD1，而 OE? 平面 ACE， BD1?平面 ACE，所以 BD1∥ 平面 ACE. 答案 平行 考向一 直線與平面平行的判定 與性質(zhì) 【例 1】 ?(2020銀川質(zhì)檢 )在空間中，下列命題正確的是 ( )． A．若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α B．若 a∥ α， b∥ α， a? β， b? β，則 β∥ α C．若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β D．若 α∥ β， a? α，則 a∥ β 解析 若 a∥ α， b∥ a，則 b∥ α或 b? α，故 A錯(cuò)誤；由面面平行的判定定理知，B錯(cuò)誤；若 α∥ β， b∥ α，則 b∥ β或 b? β，故 C錯(cuò)誤． 答 案 D 4． (2020四川 )l1， l2， l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ( )． A． l1⊥ l2， l2⊥ l3? l1∥ l3 B． l1⊥ l2， l2∥ l3? l1⊥ l3 C． l1∥ l2∥ l3? l1， l2， l3共面 D． l1， l2， l3共點(diǎn) ? l1， l2， l3共面 錯(cuò)因 受平面幾何知識(shí)限制，未能全面考慮空間中的情況． 實(shí)錄 甲同學(xué)： A 乙同學(xué)： C 丙同學(xué)： D. 正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故 A 錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線， B 正確；相互平行的三條直 線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故 C 錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故 D 錯(cuò)． 答案 B 【試一試】 (2020即異面直線 EF 與 BD所成的角為 45176。. (2)如圖所示，連接 AC、 BD，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， AC⊥ BD， AC∥ A1C1， ∵ E、 F 分別為 AB、 AD 的中點(diǎn) ， ∴ EF∥ BD， ∴ EF⊥ AC. ∴ EF⊥ A1C1. 即 A1C1與 EF 所成的角為 90176。寧波調(diào)研 )正方體 ABCDA1B1C1D1中． (1)求 AC 與 A1D 所成角的大?。? (2)若 E、 F 分別為 AB、 AD 的中點(diǎn)，求 A1C1與 EF 所成角的大小． [審題視點(diǎn) ] (1)平移 A1D 到 B1C，找出 AC 與 A1D 所成的角，再計(jì)算 ． (2)可證 A1C1與 EF 垂直． 解 (1)如圖所示，連接 AB1， B1C，由 ABCDA1B1C1D1是正方體， 易知 A1D∥ B1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角． ∵ AB1＝ AC＝ B1C， ∴∠ B1CA＝ 60176。浙江 )下列命題中錯(cuò)誤的是 ( )． A．如果平面 α⊥ 平面 β，那么平面 α 內(nèi)一定存在直線平行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 β C．如果平面 α⊥ 平面 γ，平面 β⊥ 平面 γ， α∩ β＝ l，那么 l⊥ 平面 γ D．如果平面 α⊥ 平面 β，那么平面 α 內(nèi)所有直線都垂直于平面 β 解析 對(duì)于 D, 若平面 α⊥ 平面 β，則平面 α內(nèi)的直線可能不垂直于平面 β，甚至可能平行于平面 β，其余選項(xiàng)均是正確的． 答案 D 4． (2020C′ D′ ＝ 12 a 68 a＝ 616a2. 答案 D 直接根據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的 2 2倍，這是一個(gè)較常用的重要結(jié)論． 【訓(xùn)練 3】 如圖， 矩形 O′ A′ B′ C′ 是水平放置的一個(gè)平 面圖形的直觀圖，其中 O′ A′ ＝ 6 cm，O′ C′ ＝ 2 cm，則原圖形是 ( )． A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 解析 將直觀圖還原得 ?OABC，則 ∵ O′ D′ ＝ 2O′ C′ ＝ 2 2 (cm)， OD＝ 2O′ D′ ＝ 4 2 (cm)， C′ D′ ＝ O′ C′ ＝ 2 (cm)， ∴ CD＝ 2 (cm)， OC＝ CD2＋ OD2＝ 22＋ ?4 2?2＝ 6 (cm)， OA＝ O′ A′ ＝ 6 (