立體幾何空間位置關(guān)系系統(tǒng)復(fù)習(xí)(參考版)
2025-06-10 21:56本頁(yè)面
【正文】 則⊥名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1. 斜線和平面所成的角，簡(jiǎn)稱(chēng)“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角. 求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過(guò)解直角三角形求解，可以簡(jiǎn)述為“作（作出線面角）→證（證所作為所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.2. 斜線和平面所成的角的范圍是.【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐中，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC的垂心.【分析】可證O為三角形ABC的兩條高線的交點(diǎn).【證明】連接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ .又 ∵ ，∴ ，得,∴ O為底面△ABC的垂心.【點(diǎn)撥】此例可以變式為“已知，求證”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到后進(jìn)行證明. 三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，也可按同樣的思路證出.【例2】如圖，是正方形，垂直于平面，過(guò)且垂直于的平面交、分別于點(diǎn)，求證：，.【分析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想．由于圖形的對(duì)稱(chēng)性，所以?xún)蓚€(gè)結(jié)論只需證一個(gè)即可．欲證，可證平面，為此須證，進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明平面，平面．【證明】∵平面，平面，∴．又∵為正方形，∴．∴平面．∵平面，∴．又∵平面，∴．∴平面．又∵平面，∴，同理可證．【點(diǎn)撥】 (1)證明線線垂直，常用的方法有：同一平面內(nèi)線線垂直、線面垂直的性質(zhì)定理，三垂線定理與它的逆定理，以及與兩條平行線中一條垂直就與另一條垂直．(2)本題的證明過(guò)程中反復(fù)交替使用“線線垂直”與“線面垂直”的相互聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化思想的優(yōu)越性． 平面與平面垂直的判定自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面垂直的判定，正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個(gè)平面互相垂直”的概念；理解平面與平面垂直的判定定理并會(huì)用判定定理證明平面與平面垂直的關(guān)系，會(huì)用所學(xué)知識(shí)求兩平面所成的二面角的平面角的大小.1. 定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. 記作二面角. （簡(jiǎn)記）2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.3. 定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直. 記作.4. 判定：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直. 名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)1. 二面角 的大?。?）二面角 的大小是用它的平面角來(lái)度量的，以點(diǎn)為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，在做二面角的平面角時(shí)，一定要有“OA⊥l” ，OB⊥l；∠AOB的大小與點(diǎn)O在l上位置無(wú)關(guān).（2）當(dāng)二面角的平面角是直角時(shí)，這兩個(gè)平面互相垂直.2. 自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ).【經(jīng)典例題】【例1】已知兩條不同直線，兩個(gè)不同平面，給出下列命題：①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則⊥；②若∥，則平行于內(nèi)的所有直線；③若，且⊥，則⊥；④若，則⊥；⑤若，且∥，則∥；其中正確命題的序號(hào)是 ．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）【分析】①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則⊥，正確；②若∥，則平行于內(nèi)的所有直線，l與還有可能異面；③若，且⊥，則⊥，與還有可能平行或不垂直的相交；④若，則⊥，正確；⑤若，且∥，則∥，m與l還有可能異面；【解】①④【點(diǎn)撥】根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷.【例2】如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證：．【分析】可證兩個(gè)平面所成的二面角是直角.【證明】連接AC，交BD于F，連接，EF，.由正方體，易得，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)， 所以，得到是二面角的平面角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，.∴ ，即，所以.【點(diǎn)撥】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角，這也是證兩平面垂直的常用方法. 此題由幾何圖形的特征，作出待證的兩個(gè)垂直平面所成二面角的平面角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 直線與平面垂直的性質(zhì)自主探究學(xué)習(xí)通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)，掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理；能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；了解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. 名師要點(diǎn)解析要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)：，那么這兩個(gè)平面平行.【經(jīng)典例題】【例1】三棱錐中，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC的內(nèi)心.【分析】可證點(diǎn)O到底面△ABC的三邊的距離相等.【證明】作于D，于E，于F，連接OD、OE、OF.∵ 平面ABC，∴ ， .又 ∵ ,∴ .得 ,∴ 為三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角的平面角. 即得，∵ PO邊公共， ∴ ，得 ，又 ∵ . ∴ O為底面△A
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