【文章內(nèi)容簡介】 與 a∩α＝ A矛盾 .∴ b∥α不成立 . ∴ b與α相交 . ：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中的一條，那么它們的交線和這條直線平行 . 已知： a∥ b,a? α， b? β，α∩β＝ c. 求證： c∥ a∥ b 330. 在下列 命題中，真命題是 ( ) m、 n都平行平面α，則 m∥ n。 — l— β是直二面角，若直線 m⊥ l，則 m⊥ n， m⊥β； m、 n在平面α內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且 m⊥ n，則 n在α內(nèi)或 n與α平行； m、 n是異面直線，若 m和平面α平行，則 n與α相交 . 解析： 對于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒有傳遞性故 A不正確；平面與平面垂直可得出線面垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂直于交線，而 B中 m不一定在α內(nèi)，故不正確；對 D來說存在平面同時(shí)和兩異面直線平行，故不正確；應(yīng)選 C. 331. 設(shè) a、 b是兩條異面直線，在下列命題中正確的是 ( ) 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 a、 b都垂直 a、 b都垂直 a有且僅有一平面與 b平行 a、 b都相交 解析： 因?yàn)榕c異面直線 a、 b的公垂線平行的直線有無數(shù)條，所以 A不對；若有平面與 a、b都垂直，則 a∥ b不可能，所以 B不對 .若空間的一點(diǎn)與直線 a(或 b)確定的平面與另一條直線 b(或 a)平行，則過點(diǎn)與 a相交的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，它不可能再與另一條直線相交，所以 D不對，故選 C. 332. 三個(gè)平面兩兩相 交得三條交線，若有兩條相交，則第三條必過交點(diǎn)；若有兩條平行，則第三條必與之平行 . 已知：α∩β＝ a,α∩ ? ＝ b, ? ∩α＝ c. 求證：要么 a、 b、 c三線共點(diǎn)，要么 a∥ b∥ c. 證明 ：①如圖一，設(shè) a∩ b＝ A， ∵α∩β＝ a. ∴ a? α而 A∈ a. ∴ A∈α . 又β∩ ? ＝ b ∴ b? ? ,而 A∈ b. ∴ A∈ ? . 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 則 A∈α， A∈ ? ，那么 A在α、 ? 的交線 c上 . 從而 a、 b、 c三線共點(diǎn) . ②如圖二，若 a∥ b，顯然 c? ? ， b? ? ∴ a∥ ? 而 a? α , α∩ ? ＝ c. ∴ a∥ c 從而 a∥ b∥ c 333. 一根長為 a的木梁，它的兩端懸掛在兩條互相平行的，長度都為 b的繩索下，木梁處于水平位置，如果把木梁繞通過它的中點(diǎn)的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度φ，那么木梁升高多少 ? 解析： 設(shè) M、 N為懸掛點(diǎn)， AB為木梁的初始位置，那么 AB＝ a， MA∥ NB， MA＝ NB＝ b,∠ A＝∠ B＝ 90176。 . 設(shè) S為中點(diǎn)， L為過 S的鉛垂軸，那么 L? 平面 MANB，木梁繞 L轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ后位于 CD位置，T為 CD中點(diǎn)，那么木梁上升的高度為異面直線 AB 與 CD之間的距離 ST. 在平面 MANB中，作 TK∥ AB，交 MA于 K，則 AK＝ ST. 設(shè) ST＝ x，則 x＝ KT＝ CT＝ 2a ，∠ KTC＝φ，有 KC＝ asin2? . 從而 KM＝2sin 222 ?ab ?. ∴ x＝ b2sin 222 ?ab ?. 334. (1)棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要但不充分的條件是： ( ) 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 解析： 根據(jù)直棱柱定義， A是充分條件， C、 D不是必要條件，所以選 B. 說明 解答此題要熟知直棱柱的定義及其充分必要條件的含義 . 335. 長方體的一條對角線與一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別為α、β、γ . 求證： cos2α +cos2β +cos2γ＝ 1 解析： 證明三角恒等式，可用從左邊推出右邊的方法 . 證明 ：設(shè)對角線 B1D與長方體的棱 AD、 DC、 D1D所成的角分別為α、β、γ，連結(jié) AB CB1，D1B1，則Δ B1DA、Δ B1DC、Δ B1DD1都是直角三角形 . ∵ cosα＝1DBDA ,cosβ＝1DBDC ,cosγ＝11DBDD ∴ cos2α +cos2β +cos2γ＝212122DB DDDCDA ??＝ 1. 評析： 這里運(yùn)用了長方體對 角線長定理 . 336. 在三棱柱 ABC— A1B1C1中，已知 AB＝ AC＝ 10cm,BC＝ 12cm，頂點(diǎn) A1與 A、 B、 C的距離等于 13cm，求這棱柱的全面積 . 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 解析： 如圖，作 A1O⊥平面 ABC于 O，∵ A1A＝ A1B＝ A1C，∴ OA＝ OB＝ OC，∴ O是Δ ABC的外心，∵Δ ABC等腰，∴ AO⊥ BC于 D，∴ AA1⊥ BC，∴ B1B⊥ BC，四邊形 B1BCC1為矩形，∴ S11BCCB矩形＝12 13＝ 156(cm2),Δ A1AB底邊上高 A1E＝ 22 513? ＝ 12，11ABBAS＝11ACCAS＝ 120(cm2),SΔ ABC＝111 CBAS△＝ 21 12 8＝ 48(cm2),S 全 ＝ 156+2 120+2 48＝ 492(cm2) 337. 在平行六面體中，一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別是 a,b,c，這三條棱長分別是 a,b,c，這三條棱中每兩條成 60176。角，求平行六面體積 . 解析： 如圖，設(shè)過 A點(diǎn)的三條棱 AB， AD， AA1的長分 別是 a,b,c,且兩面所成角是 60176。，過A1作 A1H⊥平面 ABCD， H為垂足，連 HA，則∠ HAB＝ 30176。，由課本題得： cos∠ A1AB＝ cos∠ A1AH cos∠ HAB, ∴ cos∠ A1AH＝ HABABA??coscos 1 ＝ ??30cos60cos ＝ 33 ,sin∠ A1AH＝ 36 ∴ V＝ SABCD A1H＝ absin60176。 c sin∠ A1AH＝ 22 abc. 338. 在棱長為 a的正三棱柱 ABC— A1B1C1中， O、 O1分別為兩底中心， P為 OO1的中點(diǎn)，過 P、B C1作一平面與此三棱柱相截，求此截面面積 . 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 解析： 如圖，∵ AA1⊥面 A1B1C1， AA1∥ OO1，設(shè)過 P、 B C1的截面與 AA1的延長線交于 Q，連結(jié) A1O1延長交 B1C1于 D，連 QD，則 P必在 QD上，∵ O1為Δ A1B1C1的中心， P為 OO1的中點(diǎn)，故11QAPO ＝11DADO ＝ 31 ，∴ Q在 A1A延長線上且 QA＝ PO1，又 QB1交 AB于 E， QC1交 AC于 F，則 EF∥ B1C1，所以截面為 EFB1C1是等腰梯形，又 QA1∶ QA＝ 3∶ 1，∴ EF＝ 3a 設(shè) QD與 EF交于 H，得 QD⊥ HD 為梯形 EFC1B1的高 .DQ＝ 2121 DAQA ? ＝ 3 a,∴ HD＝ 332 a.11BEFCS＝ 21 (a+3a ) ( 332 a)＝ 934 a2為所求截面積 . 339. 如圖，已知正三棱柱 ABC— A1B1C1的各棱長都為 a， D為 CC1的中點(diǎn) . (1)求證： A1B⊥平面 AB1D. (2)求平面 A1BD與平面 ABC所成二面角的度數(shù) . 解析： 這雖是一個(gè)棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都還是要利用直線和平面 中的有關(guān)知識(shí) . 解 (1)∵正三棱柱的各棱長都相等， 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 ∴側(cè)面 ABB1A1是正方形 . ∴ A1B⊥ DE， ∵Δ BCD≌Δ A1C1D， ∴ BD＝ A1D，而 E為 A1B的中點(diǎn)， A1B⊥ DE.∴ A1B⊥平面 AB1D. (2)延長 A1D與 AC的延長線交于 S，連 BS，則 BS為平面 A1BD和平面 ABC所成二面角的公共棱 . ∵ DC∥ A1A，且 D為 CC1的中點(diǎn)，∴ AC＝ CS. 又 AB＝ BC＝ CA＝ CS，∴∠ ABS＝ 90176。 .又 AB是 A1B在底面上的射影，由三垂線定理得 A1B⊥ BS. ∴∠ A1BA就是二面角 A1— BS— A的平面角 . ∵∠ A1BA＝ 45176。， ∴平面 A1BD和平面 ABC所成的二面角為 45176。 . 評注： 本題 (2)的關(guān)鍵是根據(jù)公理二求平面 A1BD 和平面 ABC的交線，在論證 AB⊥ BS 時(shí)，用到了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的逆定理 .當(dāng)然 (2)還可以用 S 射 ＝ S cosθ來解θ . 340. 如圖，已知正三棱柱 A1B1C1— ABC的底面積等于 3 cm2， D、 E分別是側(cè)棱 B1B， C1C上的點(diǎn)，且有 EC＝ BC＝ 2DB，試求 (1)四棱錐 A— BCDE的底面 BCED的面積 (2)四棱錐 A— BCED的體積 (3)截面 ADE與底面 ABC所成二面角的大小 (4)截面 ADE的面積 解析： 利用三棱柱的性質(zhì)及已知條件， (1)、 (2)、 (4)不難推算，至于 (3)，可設(shè)平面 ADE立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 與平面 ABC所成二面角為α，觀察到Δ ADE在底面 ABC的射影是Δ ABC(∵ DB⊥平面 ABC， EC⊥平面 ABC)應(yīng)用 SΔ ABC＝ SΔ ADE cosα，可求出α . 解 ：設(shè)Δ ABC邊長為 x，∵ SΔ ABC＝ 43 x2＝ 3 .∴ x＝ 2，于是 EC＝ BC＝ 2， DB＝ 21 BC＝ 1，∴SBCED＝ 21 (2+1) 2＝ 3，作 AF⊥ BC于 F ∴ AF⊥平面 BCED， VABCED＝ 31 AF SBCED，∴ VABCED＝ 31 23 2 3＝ 3 在 RtΔ ABD中， AD2＝ AB2+DB2＝ 22+12＝ 5；在 Rt梯形 BCED中， DE2＝ (CEDB)2+BC2＝ 5 ∴ AD＝ DE＝ 5 ，∴Δ ADE是等腰三角形，作 DQ⊥ AE于 Q，則 Q為 AE 的中點(diǎn) 在 RtΔ ACE中， AE2＝ EC2+AC2＝ 8， DQ2＝ AD2AQ2＝ ( 5 )2(21 8 )2＝ 3 ∴ AE＝ 8 ， DQ＝ 3 ， SΔ ADE＝ 21 AE DQ＝ 6 設(shè)截面 ADE與底面 ABC所成二面角大小為α， D、 E分別在底面的射影為 B、 C，∴Δ ABC的面積＝Δ ADE面積 cosα 即 3 ＝ 6 cosα ,cosα＝ 22 ,∴α＝ 45176。 答 (1)SBCED＝ 3cm2,(2)VABCED＝ 3 cm2,(3)截面 ADE與底面 ABC成 45176。的二面角， (4)SΔ ADE＝6 cm2 341. 在三棱柱 ABC— A1B1C1中， AB＝ 2 a,BA＝ CA＝ AA1＝ a,A1在底面Δ ABC上的射影 O在AC上。 (1)求 AB與側(cè)面 AC1所成的角 (2)若 O恰是 AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積 立體幾何基礎(chǔ)題題庫有詳細(xì)答案 解析： (1)A1O⊥面 ABC， BC? 面 ABC，∴ BC⊥ A1O，又∵ BC＝ CA＝ a， AB＝ 2 a,∴Δ ABC是等腰直角三角形，∴ BC⊥ AC，∵ BC⊥面 AC1，故∠ BAC為 BA與面 AC1所成的角，則有∠ BAC＝ 45176。，即 AB與側(cè)面成 45176。角。 (2)若 O恰為 AC中點(diǎn)，∵ AA1＝ a,AC＝ a,∴ AO＝ 2a ,A1O＝ 23 a,11BBCCS＝ a2，作 OD⊥ AB于 D，連結(jié) A1D，由三垂線定理得 A1D⊥ AB，在 RtΔ AOD中， OD＝ OAsin∠ BAC＝ 2a 22 ＝ 42 a2，在 RtΔ A1OD中， A1D＝ 221 ODOA ? ＝227a,11AABBS＝227a 2 a＝ 27 a2，∴ 三 棱 柱 側(cè) S＝ 21 (2+ 3 + 7 )a2 342. 已知異面直線 a、 b 成 ??0 角，過空間一點(diǎn) p，與 a、 b 也都成 ??0 角的直線，可以作（ ） A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 解析： C 343. 已知 ??l??是直二面角，直線 a ??，直線 b ??，且 a、 b 與 l 都不垂直，那么（ ）． A． a 與 b 可能平行，也可能垂直 B． a 與 b 可能平行，但不可能垂直 C． a?與 b 不可能平行，但可能垂直 D． a?與 b 不可能平行，也不可能垂直 解析： B．當(dāng) ??la? ， ??lb? 時(shí)， a∥ b，即 a、 b 可能平行，假設(shè) a⊥ b，在 a 上取一點(diǎn) P，作 PQ⊥ l 交 l 于 Q，∵ 二面角 ??l??是直二面角，∴ PQ⊥ ??，∴ PQ⊥ b．∴ b垂直于 ??內(nèi)兩條相交直線 a 和 PQ，∴ b⊥ ??，∴ b⊥ l．這與已知 b 與 l 不垂直矛盾．∴ b 與 a 不垂直 344. 直線 l、 m 與平面 ??、 ??滿足 l⊥平面 ??， m ??，以上四個(gè)命題： ① ??∥ ??