中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)-經(jīng)典壓軸題附詳細(xì)答案(編輯修改稿)
2025-03-31 07:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 試題分析：根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0）），然后求出當(dāng)x=2或x=10時(shí)y的值，與6進(jìn)行比較大小，比6大就可以通過，比6小就不能通過；將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進(jìn)行做差得出最小值．試題解析：（1）由題知點(diǎn)在拋物線上所以，解得，所以所以，當(dāng)時(shí)，答：，拱頂D到地面OA的距離為10米（2）由題知車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0））當(dāng)x=2或x=10時(shí)，所以可以通過（3）令，即，可得，解得答：兩排燈的水平距離最小是考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．7．如圖，拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在B點(diǎn)左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C.（Ⅰ）求兩點(diǎn)坐標(biāo).（Ⅱ）連結(jié)，若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，P的橫坐標(biāo)為t，并求t為何值時(shí)，S最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)分別為拋物線及其對(duì)稱軸上的點(diǎn)，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為n，且使得以四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求滿足條件的的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）滿足條件的點(diǎn)的值為：，或，或【解析】【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出結(jié)論；（Ⅲ）分三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程組即可得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）拋物線，令，則，解得：或，∴（Ⅱ）由拋物線，令，∴，∴，如圖1，點(diǎn)P作軸于Q，∵P的橫坐標(biāo)為t，∴設(shè)，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴設(shè)以四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)和為對(duì)角線時(shí)，∴，∴，②當(dāng)和是對(duì)角線時(shí)，∴，∴，③和為對(duì)角線時(shí)，∴，∴，即：滿足條件的點(diǎn)的值為：，或，或【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，三角形的面積公式，梯形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積． 【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標(biāo)為（5，－5）；（4）或5．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性即可寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可求面積；（3）利用三角形的面積以及點(diǎn)P所處象限的特點(diǎn)即可求；（4）分情況進(jìn)行討論，確定點(diǎn)M、N，然后三角形的面積公式即可求.試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y(tǒng)＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x．（2）∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．又C，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝23＝3．（3）存在點(diǎn)P．作PQ⊥BH于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋（m－1）（3＋m2－4m）＝33＋（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，－5）．（4）或5．提示：①當(dāng)以M為直角頂點(diǎn)，則S△CMN＝；②當(dāng)以N為直角頂點(diǎn)，S△CMN＝5；③當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積、直角三角形的判定等，能正確地根據(jù)題意確定圖形，分情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.9．對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)其自變量的值為m時(shí)，其函數(shù)值等于﹣m，則稱﹣m為這個(gè)函數(shù)的反向值．在函數(shù)存在反向值時(shí)，該函數(shù)的最大反向值與最小反向值之差n稱為這個(gè)函數(shù)的反向距離．特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)反向值時(shí)，其反向距離n為零．例如，圖中的函數(shù)有4，﹣1兩個(gè)反向值，其反向距離n等于5．（1）分別判斷函數(shù)y＝﹣x+1，y＝，y＝x2有沒有反向值？如果有，直接寫出其反向距離；（2）對(duì)于函數(shù)y＝x2﹣b2x，①若其反向距離為零，求b的值；②若﹣1≤b≤3，求其反向距離n的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝請(qǐng)直接寫出這個(gè)函數(shù)的反向距離的所有可能值，并寫出相應(yīng)m的取值范圍．【答案】（1）y＝?有反向值，反向距離為2；y＝x2有反向值，反向距離是1；（2）①b＝177。1；②0≤n≤8；（3）當(dāng)m＞2或m≤﹣2時(shí)，n＝2，當(dāng)﹣2＜m≤2時(shí)，n＝4．【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中的新定義可以分別計(jì)算出各個(gè)函數(shù)是否有方向值，有反向值的可以求出相應(yīng)的反向距離；(2)①根據(jù)題意可以求得相應(yīng)的b的值；②根據(jù)題意和b的取值范圍可以求得相應(yīng)的n的取值范圍；(3)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和題意可以解答本題．【詳解】(1)由題意可得，當(dāng)﹣m＝﹣m+1時(shí)，該方程無解，故函數(shù)y＝﹣x+1沒有反向值，當(dāng)﹣m＝時(shí)，m＝177。1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝有反向值，反向距離為2，當(dāng)﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距離是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距離為零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝177。1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝，∴當(dāng)x≥m時(shí)，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；當(dāng)x＜m時(shí)，﹣m＝﹣m2﹣3m，解得，m＝0或m＝﹣4，∴n＝0﹣(﹣4)＝4，∴﹣2＜m≤2，由上可得，當(dāng)m＞2或m≤﹣2時(shí)，n＝2，當(dāng)﹣2＜m≤2時(shí)，n＝4．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，找出所求問題需要的條件，利用新定義解答相關(guān)問題．10．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是方程兩根，且，求k的值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k
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