全國中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合中考模擬和真題匯總含詳細答案(編輯修改稿)
2025-03-31 22:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，解之即可（Ⅲ）先求出拋物線的頂點坐標，結(jié)合（Ⅱ）拋物線的頂點坐標，和x的取值范圍，分三種情形討論求解即可；【詳解】解：（Ⅰ）將點代入的解析式，解得（Ⅱ）拋物線的頂點坐標為，令，得∵，∴（Ⅲ）∵拋物線的頂點，拋物線的頂點，當時，最高點是拋物線G1的頂點∴，解得當時，G1中（2，2m1）是最高點，2m1∴2m1，解得當時，G2中（4，4m9）是最高點，4m9．∴4m9，解得.綜上所述，即為所求.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，在平面直角坐標系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B；點P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D，過點D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D′（不與點D重合），連接PD′，設(shè)點P的橫坐標為m：（1）①直接寫出a的值；②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達式的一般式；（2）當拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點時，設(shè)△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：①求的值；②直接寫出L與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．【答案】（1）①；②y＝﹣2x；（2）①1；②L＝；（3）h＝177。．【解析】【分析】（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中計算即可；②y＝﹣2x；（2）將（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系數(shù)法求OB、AB的解析式，由點P的橫坐標為m，即可表示出相應(yīng)線段求解；（3）以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形，DD′＝OA，可知點D的縱坐標為2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．【詳解】解：（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，得：0＝a（0﹣2）2﹣2，解得：a＝；②y＝﹣2x；．（2）∵拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點，a＝；∴y＝x2，∴A（4，0），B（2，﹣2），易得：直線OB解析式為：y＝﹣x，直線AB解析式為：y＝x﹣4如圖1，①②如圖1，當0＜m≤2時，L＝OE+EF+OF＝，當2＜m＜4時，如圖2，設(shè)PD′交x軸于G，交AB于H，PD交x軸于E，交AB于F，則，∵DD′∥EG，即：EG?PD＝PE?DD′，得：EG?（2m）＝（2m﹣m2）?2m∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG；（3）如圖3，∵OADD′為菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，拋物線的平移等，解題時要注意考慮分段函數(shù)表示方法．9．如圖①，在平面直角坐標系xOy 中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0) 、B(3，0) 兩點，且與y軸交于點C.（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ.①若點P的橫坐標為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D 的坐標；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=x2+2x+3；（2）①點D（ ）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）（I）由點P的橫坐標可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設(shè)點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（II）假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，進而可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，設(shè)點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+4（t+2）x2t28t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達式為y=x2+2x+3．（2）（I）當點P的橫坐標為時，點Q的橫坐標為，∴此時點P的坐標為（，），點Q的坐標為（，）．設(shè)直線PQ的表達式為y=mx+n，將P（，）、Q（，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達式為y=x+．如圖②，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設(shè)點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，x+），∴DE=x2+2x+3（x+）=x2+3x+，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+6x+=2（x）2+8．∵2＜0，∴當x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標為（，）．（II）假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，∴點P的坐標為（t，t2+2t+3），點Q的坐標為（4+t，（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y=2（t+1）x+t2+4t+3．設(shè)點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=x2+2x+3[2（t+1）x+t2+4t+3]=x2+2（t+2）xt24t，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+4（t+2）x2t28t=2[x（t+2）]2+8．∵2＜0，∴當x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）（I）利用三角形的面積
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