【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大．7．在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=axa為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“衍生三角形”．已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點C．（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2，）；（1,0）；（2）N點的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）E（1，）、F（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數(shù)解析式的a即可；（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結(jié)合A點坐標(biāo)，則可求出ON的長，可求出N點的坐標(biāo)；（3）分別討論當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標(biāo)即可【詳解】（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；聯(lián)立兩解析式求交點，解得或，∴A（2，），B（1,0）；（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，在中，令y=0可求得x= 3或x=1，∴C（3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點的坐標(biāo)為（0，），（0，）；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點的橫坐標(biāo)為0或2，∵點F在直線AB上，∴當(dāng)F點的橫坐標(biāo)為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標(biāo)為，∴ E（1，）；當(dāng)F點的橫坐標(biāo)為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點坐標(biāo)為（， ），設(shè)E（1，t），F(xiàn)（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F(xiàn)（4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F(xiàn)（4，）【點睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題8．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點A，經(jīng)過點A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對稱軸是x=．（1）求拋物線的解析式；（2）平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PE=3PF．求證：PE⊥PF；（3）若（2）中的點P坐標(biāo)為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當(dāng)PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得點A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點A，對稱軸是x=列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；（2）設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；（3）設(shè)E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點坐標(biāo)公式可得到，從而可求得點Q的坐標(biāo)（用含a的式子表示），最后，將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a的值即可．【詳解】（1）當(dāng)y=0時，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點A，對稱軸是x=，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，∴直線m的解析式為y=x．∵點P是直線1上任意一點，∴設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90176。，∴∠FPC+∠CPE=90176。，∴FP⊥PE．（3）如圖所示，點E在點B的左側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當(dāng)點E在點B的右側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標(biāo)公式，用含a的式子表示點Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，點C落在拋物線上的點P處．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求線段CD的長；（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點O的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以O(shè)、D、E、M為頂點的四邊形面積為8，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）線段CD的長為2；（3）M點的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點坐標(biāo)和拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設(shè)CD=t，則D（2，﹣t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC=90176。，DP=DC=t，則P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x