【文章內容簡介】 設CM與拋物線交于點P2，過P2作P2Q⊥BC，此時，△CP2Q∽△BCO，易得直線CM的解析式為：y=x+2，則，解得：P2（，），綜上所述，點P的坐標為：（1，2）或（，）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，計算量大，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、利用函數(shù)解析式求其交點坐標、三角形相似的性質和判定、等腰三角形的性質和判定，是一個不錯的二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，采用了分類討論的思想，第三問和第四問要考慮周全，不要丟解．6．如果一條拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線系數(shù)”．(1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是　 　(填“真”或“假”)命題；(2)若一條拋物線系數(shù)為[1，0，﹣2]，則其“拋物線三角形”的面積為　 ??；(3)若一條拋物線系數(shù)為[﹣1，2b，0]，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；(4)在(3)的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQ⊥x軸于點Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）當△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，由此可得出結論；（2）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到，由此可得出結論；（3）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到y(tǒng)＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；當拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形，由拋物線頂點為（b，b2），以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，解方程即可得到結論；（4）分兩種情況討論：①當拋物線為y＝－x2＋2x 時，②當拋物線為y＝－x2－2x 時．詳解：（1）當△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，此時拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：，令y=0，得：x=，∴ S==；（3）依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；當拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形． ∵y＝－x2＋2bx=，∴頂點為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝177。1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①當拋物線為y＝－x2＋2x 時．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），則｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=177。1，∴P（1，1）或（－1， －3）．②當拋物線為y＝－x2－2x 時．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），則｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=177。1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．綜上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．點睛：本題是二次函數(shù)綜合題．考查了二次函數(shù)的性質以及“拋物線三角形”的定義．解題的關鍵是弄懂“拋物線三角形”的定義以及分類討論．7．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．【答案】（1）；（2）E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】試題分析：（1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；（2）先求得直線BC的解析式為，則可設E（m，），然后分三種情況討論即可求得；（3）利用△PBD的面積即可求得．試題解析：（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）由二次函數(shù)可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設E（m，），當DC=CE時，即，解得，（舍去），∴E（，）；當DC=DE時，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當EC=DE時，解得=，∴E（，）．綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，∵P點的橫坐標為m，∴P點的縱坐標為：，∵△PBD的面積===，∴當m=時，△PBD的最大面積為，∴點P的坐標為（，）．考點：二次函數(shù)綜合題．8．如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）．（1）求點B的坐標；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點．①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．【答案】（1）點B的坐標為（1，0）.（2）①點P的坐標為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標．（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到，設出點P 的坐標，根據(jù)列式求解即可求得點P的坐標．②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為(q,q3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標為(q,q2+2q3)，從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數(shù)關系式應用二次函數(shù)最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點關于對稱軸對稱 ，且A點的坐標為（－3，0），∴點B的坐標為（1，0）.（2）①∵拋物線，對稱軸為，經過點A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點的坐標為（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.設點P的坐標為(p,p2+2p3)，則.∵，∴，解得.當時；當時，∴點P的坐標為（4，21）或（－4，5）.②設直線AC的解析式為，將點A，C的坐標代入，得：，解得：.∴直線AC的解析式為.∵點Q在線段AC上，∴設點Q的坐標為(q,q3).又∵QD⊥x軸交拋物線于點D，∴點D的坐標為(q,q2+2q3).∴.∵，∴線段QD長度的最大值為.9．在平面直角坐標系中，拋物線過點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點C的坐標．（2）如圖1，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2) 拋物線的表達式為：；(3) 或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線的表達式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點H，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，由三角形的面積公式得到，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達式為：，即，則點；（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，∵，∴，設：，點，∴，∴，其中：，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達式為：；（3）如圖2，當點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H，則，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，