太原中考數(shù)學(xué)壓軸題專題二次函數(shù)的經(jīng)典綜合題(編輯修改稿)
2025-04-02 00:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =10=10﹣2t，t=．答：當(dāng)t為秒時(shí)，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，三角形和四邊形的面積，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，計(jì)算量大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所構(gòu)成的三角形各邊的關(guān)系.8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，直線CD與x軸交于點(diǎn)C、與y軸交于點(diǎn)D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為： ?。ㄖ苯犹羁眨唬?）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)P為第二象限”母線”上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交”姊線”CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，連接OH，若GH＝，請(qǐng)直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而求得直線CD的表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達(dá)式，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立并解得點(diǎn)Q坐標(biāo)，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由此可得點(diǎn)H坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)G坐標(biāo)，由勾股定理得：m值，即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而得到 “母線”函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達(dá)式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達(dá)式為：y＝x，將直線OP和CD表達(dá)式聯(lián)立得，解得：點(diǎn)Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（﹣3，0）、（0，﹣），則點(diǎn)H（﹣，﹣），同理可得：點(diǎn)G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.9．當(dāng)今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購(gòu)該科幻小說若干本，每本進(jìn)價(jià)為20元．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量是250本；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤(rùn)不低于10元且不高于18元．（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時(shí)每天的銷售量（本）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈(zèng)元給困難職工，每天扣除捐贈(zèng)后可獲得最大利潤(rùn)為1960元，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式即可；（2）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為w元．根據(jù)題意得到w=（x20a）（10x+500）=10x2+（10a+700）x500a10000（30≤x≤38）求得對(duì)稱軸為x＝35+a，且0＜a≤6，則30＜35+a≤38，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，解方程得到a1=2，a2=58，于是得到a=2．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，；（2）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為元．對(duì)稱軸為x＝35+a，且0＜a≤6，則30＜35+a ≤38，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴∴（不合題意舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤(rùn)的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，正確的理解題意，確定變量，建立函數(shù)模型．10．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對(duì)稱性可確定出拋物線的對(duì)稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30176。，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長(zhǎng)，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長(zhǎng)，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長(zhǎng)，最后將AM和AN的長(zhǎng)代入化簡(jiǎn)即可．試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，
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