【文章內容簡介】 x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 ?。ㄖ苯犹羁眨?；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯(lián)立并解得點Q坐標，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標，由此可得點H坐標，同理可得點G坐標，由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標，從而得到 “母線”函數(shù)的表達式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點A、B、C的坐標分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達式為：y＝x，將直線OP和CD表達式聯(lián)立得，解得：點Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點C、D的坐標為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），同理可得：點G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的有關性質是解答此題的關鍵.8．如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B．拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．（1）如圖1，設拋物線頂點為M，且M的坐標是（，），對稱軸交AB于點N．①求拋物線的解析式；②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）是否存在這樣的點D，使得四邊形BOAD的面積最大？若存在，求出此時點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；；（2）存在，點D的坐標是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點B的坐標，設拋物線解析式為y＝a，把點B的坐標代入求得a的值即可；②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），根據(jù)題意知PD∥MN，所以當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據(jù)該等量關系列出方程﹣2m2+4m＝，通過解方程求得m的值，易得點N、P的坐標，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根據(jù)S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函數(shù)的性質求得最值．【詳解】解：①如圖1，∵頂點M的坐標是，∴設拋物線解析式為y＝（a≠0）．∵直線y＝﹣2x+4交y軸于點B，∴點B的坐標是（0，4）．又∵點B在該拋物線上，∴＝4，解得a＝﹣2．故該拋物線的解析式為：y＝＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵拋物線y＝的對稱軸是直線x＝，且該直線與直線AB交于點N，∴點N的坐標是．∴．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．當PD＝MN時，四邊形MNPD是平行四邊形，即﹣2m2+4m＝．解得 m1＝（舍去），m2＝．此時P（，1）．∵PN＝，∴PN≠MN，∴平行四邊形MNPD不是菱形．∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在，理由如下：設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），∵點P在線段AB上且直線PD⊥x軸，∴P（n，﹣2n+4）．由圖可知S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB?OA＝42＝4．則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）＝y(tǒng)D﹣yP＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．當n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點D的坐標是（1，4）．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．9．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，.（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標.【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標為或或或.【解析】分析：（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設直線BC與對稱軸x=1的交點為M，此時MA+MC的值最小．把x=1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；（3）設P（1，t），又因為B（3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，再分三種情