【正文】 系中，二次函數(shù)交軸于點、交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，.【解析】分析：（1）把已知點坐標代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可； （2）根據(jù)函數(shù)解析式設出點D坐標，過點D作DG⊥x軸，交AE于點F，表示△ADE的面積，運用二次函數(shù)分析最值即可； （3）設出點P坐標，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵．14．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）點Q的坐標為（3，2）或（﹣1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．【解析】分析：（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y=x2，則Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關于m的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90176。，利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時m的值；②∠BQM=90176。，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，易得點Q坐標．詳解：（1）由拋物線過點A（1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x4），將點C（0，2）代入，得：4a=2，解得：a=，則拋物線解析式為y=（x+1）（x4）=x2+x+2；（2）由題意知點D坐標為（0，2），設直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），則QM=m2+m+2（m2）=m2+m+4，∵F（0，）、D（0，2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=1（舍）或m=3，即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）如圖所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：①當∠DOB=∠MBQ=90176。時，△DOB∽△MBQ，則，∵∠MBQ=90176。，∴∠MBP+∠PBQ=90176。，∵∠MPB=∠BPQ=90176。，∴∠MBP+∠BMP=90176。，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，即，解得：m1=m2=4，當m=4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，∴m=3，點Q的坐標為（3，2）；②當∠BQM=90176。時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，此時m=1，點Q的坐標為（1，0）；綜上，點Q的坐標為（3，2）或（1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及分類討論思想的運用．15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證。（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；②設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進行計算即可得解?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得。∴拋物線的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設點A的坐標為（m，m2﹣1），則?！咧本€l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。∴AO=AM。（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時，設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16。∴。∴無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)1。