初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)-易錯(cuò)-難題練習(xí)題(含答案)附答案-資料下載頁(yè)
2025-03-31 22:07本頁(yè)面
【正文】 x2?x4=0，解得x1=3，x2=4，∴A（3，0），B（4，0），當(dāng)x=0，y=x2?x4=4，∴C（0，4）；（2）AC=，易得直線BC的解析式為y=x4，設(shè)Q（m，m4）（0＜m＜4），當(dāng)CQ=CA時(shí)，m2+（m4+4）2=52，解得m1=，m2=（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）；當(dāng)AQ=AC時(shí)，（m+3）2+（m4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；當(dāng)QA=QC時(shí)，（m+3）2+（m4）2=52，解得m=（舍去），綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）或（1，3）；（3）解：過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，4）得△OBC為等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90176。，∴△FGP～△AOC．∴，即，∴PG=FG=?FQ=FQ，∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，∴FQ=PQ，設(shè)P（m，m2m4）（0＜m＜4），則Q（m，m4），∴PQ=m4（m2m4）=m2+m，∴FQ=（m2+m）=（m2）2+∵＜0，∴QF有最大值．∴當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．14．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為B，是否存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點(diǎn)（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出a的值即可；②頂點(diǎn)Q在y軸上，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點(diǎn)Q坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=177。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時(shí)，y=，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對(duì)邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，∴AM=MC=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點(diǎn)A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點(diǎn)Q在y軸上，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），設(shè)以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點(diǎn)C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．15．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；②試說明無論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長(zhǎng)，即可得證。（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入計(jì)算即可得解；②設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為y=x2﹣1。（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2﹣1），則?！咧本€l過點(diǎn)E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣2?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。∴AO=AM。（3）①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴。②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），則。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16?！??！酂o論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)1。
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