【正文】 數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，弄清解題的思路有方法.13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．（1）請直接寫出點A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．【解析】試題分析：（1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標(biāo)，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標(biāo)；（2）作點C關(guān)于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，由點C的坐標(biāo)可找出點C′的坐標(biāo)，根據(jù)點C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點F（m，m+3），分∠PAF=90176。、∠AFP=90176。和∠APF=90176。三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、F點的坐標(biāo)找出點P的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)中y=0時，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當(dāng)中x=0時，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點D（﹣1，4）．（2）作點C關(guān)于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時，x=，∴當(dāng)△CDE的周長最小，點E的坐標(biāo)為（，0）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c，則有：，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．假設(shè)存在，設(shè)點F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當(dāng)∠PAF=90176。時，P（m，﹣m﹣3），∵點P在拋物線上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時點P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；②當(dāng)∠AFP=90176。時，P（2m+3，0）∵點P在拋物線上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時點P的坐標(biāo)為（1，0）；③當(dāng)∠APF=90176。時，P（m，0），∵點P在拋物線上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時點P的坐標(biāo)為（1，0）．綜上可知：在拋物線上存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形，點P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（1，0）．考點：二次函數(shù)綜合題；最值問題；存在型；分類討論；綜合題．14．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形對應(yīng)點進(jìn)行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點N坐標(biāo)，表示點M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．詳解：（1）把A（2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx1，得 解得 ∴拋物線解析式為：y=x2?x?1∴拋物線對稱軸為直線x=＝1（2）存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小∴取點C（0，1）關(guān)于直線x=1的對稱點C′（2，1），連C′O與直線x=1的交點即為P點．設(shè)過點C′、O直線解析式為：y=kx∴k=∴y=x則P點坐標(biāo)為（1，）（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D，過點N作NE⊥y軸于點E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90176?！唷螩DN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵M(jìn)N⊥AC∴M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點設(shè)點N坐標(biāo)為（a，a1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴點D坐標(biāo)為（0，a?1）∵N為DM中點∴點M坐標(biāo)為（2a，a?1）把M代入y=x2?x?1，解得a=4則N點坐標(biāo)為（4，3）當(dāng)△AOC∽△CNM時，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB則點C關(guān)于直線x=1的對稱點C′即為點N由（2）N（2，1）∴N點坐標(biāo)為（4，3）或（2，1）點睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點之間線段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三角形相似．解答時，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．15．已知拋物線的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為　?。?）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，可得新的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將該拋物線向上平移2個單位，得：yx2x+2．故答案為yx2x+2；（2）當(dāng)y=0時，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．當(dāng)x=0時，y=2，即C（0，2）．AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）yx2x+2的對稱軸是x，設(shè)P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=：①當(dāng)AP=AC時，AP2=AC2，n2=5，方程無解；②當(dāng)AP=CP時，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③當(dāng)AC=CP時，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．綜上所述：在拋物線對稱軸上存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標(biāo)（，0），（，2），（，2）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題．解（1）的關(guān)鍵是二次函數(shù)圖象的平移，解（2）的關(guān)鍵是利用勾股定理及逆定理；解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于n的方程，要分類討論，以防遺漏．