【正文】 ：若△PAC面積為3，點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過D點作DF垂直x軸于F點，過A點作AE垂直BC于E點，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點，∴D點坐標為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當∠AOM＝∠CAB＝45176。時，△ABC∽△OMA，即OM為y＝﹣x，設OM與AD的交點M（x，y）依題意得：，解得，即M點為（，）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∴直線OM為y＝﹣3x，設直線OM與AD的交點M（x，y）．則依題意得：，解得，即M點為（，），綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似的點M，其坐標為（，）或（，）．【點睛】本題結合三角形的性質考查二次函數的綜合應用，函數和幾何圖形的綜合題目，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．13．在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”。（1）求函數y=x+2的圖像上所有“中國結”的坐標；（2）求函數y=（k≠0，k為常數）的圖像上有且只有兩個“中國結”，試求出常數k的值與相應“中國結”的坐標；（3）若二次函數y=（k為常數）的圖像與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，試問該函數的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”？【答案】（1）（0,2）；（2）當k=1時，對應“中國結”為（1,1）（－1，－1）；當k=－1時，對應“中國結”為（1，－1），（－1,1）；（3）6個.【解析】試題分析：（1）因為x是整數，x≠0時，x是一個無理數，所以x≠0時，x+2不是整數，所以x=0，y=2，據此求出函數y=x+2的圖象上所有“中國結”的坐標即可．（2）首先判斷出當k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（﹣﹣1）；然后判斷出當k≠1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上最少有4個“中國結”，據此求出常數k的值與相應“中國結”的坐標即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出xx2的值是多少；然后根據xx2的值是整數，求出k的值是多少；最后根據橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”，判斷出該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”即可．試題解析：（1）∵x是整數，x≠0時，x是一個無理數，∴x≠0時，x+2不是整數，∴x=0，y=2，即函數y=x+2的圖象上“中國結”的坐標是（0，2）．（2）①當k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（﹣﹣1）；②當k=﹣1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③當k≠177。1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上最少有4個“中國結”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”矛盾，綜上可得，k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（﹣﹣1）；k=﹣1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，﹣1）、（﹣1）．（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵xx2都是整數，∴或∴或①當時，∵，∴k=；②當時，∵，∴k=k﹣1，無解；綜上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[()2﹣3+2]x2+[2（）2﹣4+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x+①當x=﹣2時，y=﹣x2﹣x+=﹣（﹣2）2﹣（﹣2）+=②當x=﹣1時，y=﹣x2﹣x+=﹣（﹣1）2﹣（﹣1）+=1③當x=0時，y=，另外，該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結”有3個：（﹣2，0）、（﹣0）、（0，0）．綜上，可得若二次函數y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．考點：反比例函數綜合題14．如圖，某足球運動員站在點O處練習射門，(點A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間滿足函數關系y＝at2＋5t＋c，.(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數關系x＝10t，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？【答案】（1）足球飛行的時間是s時，足球離地面最高，；（2）能.【解析】試題分析：（1）由題意得：函數y=at2+5t+c的圖象經過（0，）（，），于是得到，求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，當t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，當t=，y=﹣+5+=＜，于是得到他能將球直接射入球門．解：（1）由題意得：函數y=at2+5t+c的圖象經過（0，）（，），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，∴當t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，∴當t=，y=﹣+5+=＜，∴他能將球直接射入球門．考點：二次函數的應用．15．空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【答案】（1）利用舊墻AD的長為10米．（2）見解析.【解析】【分析】（1）按題意設出AD，表示AB構成方程；（2）根據舊墻長度a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論s與菜園邊長之間的數量關系．【詳解】（1）設AD=x米，則AB=米依題意得，＝450解得x1=10，x2=90∵a=20，且x≤a∴x=90舍去∴利用舊墻AD的長為10米．（2）設AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50時，S隨x的增大而增大當x=a時，S最大=50aa2②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得S=，a≤x＜50+當a＜25+＜50時，即0＜a＜時，則x=25+時，S最大=（25+）2=，當25+≤a，即≤a＜50時，S隨x的增大而減小∴x=a時，S最大==，綜合①②，當0＜a＜時，（）=＞0＞，此時，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米當≤a＜50時，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．∴當0＜a＜時，圍成長和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；當≤a＜50時，圍成長為a米，寬為（50）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．【點睛】本題以實際應用為背景，考查了一元二次方程與二次函數最值的討論，解得時注意分類討論變量大小關系．