【正文】 x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．14．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB=8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫(xiě)出b=2019和b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）當(dāng)b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【解析】【分析】（1）求出A、B 的坐標(biāo)，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)即可；（2）通過(guò)配方，求出L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點(diǎn)為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點(diǎn)”總計(jì)4040個(gè)點(diǎn)，②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．【詳解】（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=x﹣4=﹣2，∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2 ）；（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點(diǎn)C（，）．∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）∵y3是y1，y2的平均數(shù)，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．∵x0≠0，∴x0=b，對(duì)于L，當(dāng)y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0），∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b）．（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)．∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2=4040（個(gè)）；②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=，∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y=x﹣，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y=x2+，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣ 間有1010個(gè)偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．故b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點(diǎn)兩點(diǎn).⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；⑵若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn),使拋物線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時(shí)；⑶存在. 當(dāng)時(shí)，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，均有. 理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．【詳解】（1）由題意把點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=1，c=3，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x+3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(diǎn)（1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK=a2+2a+3（a+1）=（a）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時(shí)，MK有最大長(zhǎng)度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK?AH+MK?（xBxH）=MK?（xBxA）=3=，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大=2S△AMB最大=2=，M（，）；（3）存在點(diǎn)F，∵y=x2+2x+3=（x1）2+4，∴對(duì)稱軸為直線x=1， 當(dāng)y=0時(shí)，x1=1，x2=3，∴拋物線與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，則BF=BN=3=，CF=CH=，由題意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，△ABM的面積最大，且此時(shí)線段MK的長(zhǎng)度也最大．