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中考數(shù)學(xué)備考之二次函數(shù)壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)篇附詳細(xì)答案(1)-資料下載頁

2025-03-31 07:34本頁面
  

【正文】 的表達(dá)式;(2)連接PC,交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對(duì)稱軸l為直線x=1,分t=2和t≠2兩種情況考慮:當(dāng)t=2時(shí),由拋物線的對(duì)稱性可得出此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,利用平行四邊形對(duì)角線互相平分結(jié)合CE≠PE可得出此時(shí)不存在符合題意的點(diǎn)M;(3)①過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而可得出PF的長(zhǎng)度,再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值,利用勾股定理可求出線段BC的長(zhǎng)度,利用面積法可求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,再找出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.【詳解】(1)將A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得:,∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;(2)在圖1中,連接PC,交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E,∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對(duì)稱,此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,理由如下:若四邊形CDPM是平行四邊形,則CE=PE,∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=12﹣0=2,又∵t≠2,∴不存在;(3)①在圖2中,過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F.設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0),將B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得,解得:,∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+;②∵﹣<0,∴當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),∴線段BC=,∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次(二次)函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、一次(二次)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)由點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式;(2)分t=2和t≠2兩種情況考慮;(3)①利用三角形的面積公式找出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;②利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合面積法求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值.13.如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其對(duì)稱軸l為x=﹣1.(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上,動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上.①當(dāng)PA⊥NA,且PA=NA時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí),求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,4);(2)①點(diǎn)P(﹣﹣1,2);②P(﹣ ,)【解析】試題分析:(1)將B、C的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式,由對(duì)稱軸為即可得到拋物線的解析式;(2)①首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)已知條件得到PD=OA,從而得到方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);②,表示出來得到二次函數(shù),求得最值即可.試題解析:(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其對(duì)稱軸l為,∴,解得:,∴二次函數(shù)的解析式為=,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,4);(2)令,解得或,∴點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),作PD⊥x軸于點(diǎn)D,∵點(diǎn)P在上,∴設(shè)點(diǎn)P(x,),①∵PA⊥NA,且PA=NA,∴△PAD≌△AND,∴OA=PD,即,解得x=(舍去)或x=,∴點(diǎn)P(,2);②設(shè)P(x,y),則,∵=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=====,∴當(dāng)x=時(shí),=,當(dāng)x=時(shí),=,此時(shí)P(,).考點(diǎn):1.二次函數(shù)綜合題;2.二次函數(shù)的最值;3.最值問題;4.壓軸題.14.已知函數(shù)(為常數(shù))(1)當(dāng),①點(diǎn)在此函數(shù)圖象上,求的值;②求此函數(shù)的最大值.(2)已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為,當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直接寫出的取值范圍.(3)當(dāng)此函數(shù)圖象上有4個(gè)點(diǎn)到軸的距離等于4,求的取值范圍.【答案】(1)①②;(2),時(shí),圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);(3)函數(shù)圖象上有4個(gè)點(diǎn)到軸的距離等于4時(shí),或.【解析】【分析】(1)①將代入;②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)有最大值為5;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)有最大值為;故函數(shù)的最大值為;(2)將點(diǎn)代入中,得到,所以時(shí),圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);將點(diǎn))代入和中,得到,所以時(shí)圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);(3)當(dāng)時(shí),得到;當(dāng)時(shí),得到,當(dāng)時(shí),.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),①將代入,∴;②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)有最大值為5;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)有最大值為;∴函數(shù)的最大值為;(2)將點(diǎn)代入中,∴,∴時(shí),圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);將點(diǎn)代入中,∴,將點(diǎn)代入中,∴,∴時(shí)圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);綜上所述:,時(shí),圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn);(3)當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),;∴函數(shù)圖象上有4個(gè)點(diǎn)到軸的距離等于4時(shí),或.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):.15.如圖,已知二次函數(shù)過(﹣2,4),(﹣4,4)兩點(diǎn).(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)將沿x軸翻折,再向右平移2個(gè)單位,得到拋物線,直線y=m(m>0)交于M、N兩點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示);(3)在(2)的條件下,、交于A、B兩點(diǎn),如果直線y=m與、的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點(diǎn)(C在左側(cè)),直線y=﹣m與、的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點(diǎn)(E在左側(cè)),求證:四邊形CEFD是平行四邊形.【答案】(1);(2);(3)證明見解析.【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題.(2)先求出拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo),再求出其解析式,利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN.(3)用類似(2)的方法,分別求出CD、EF即可解決問題.試題解析:(1)∵二次函數(shù)過(﹣2,4),(﹣4,4)兩點(diǎn),∴,解得:,∴二次函數(shù)的解析式.(2)∵=,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(﹣3,),∵將沿x軸翻折,再向右平移2個(gè)單位,得到拋物線,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(﹣1,),∴拋物線為,由,消去y整理得到,設(shè),是它的兩個(gè)根,則MN===;(3)由,消去y整理得到,設(shè)兩個(gè)根為,則CD===,由,消去y得到,設(shè)兩個(gè)根為,則EF===,∴EF=CD,EF∥CD,∴四邊形CEFD是平行四邊形.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
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