【正文】 ∠NCD，∠AOC=∠CND=90176?！唷螩DN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D關于AN對稱，則N為DM中點設點N坐標為（a，a1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴點D坐標為（0，a?1）∵N為DM中點∴點M坐標為（2a，a?1）把M代入y=x2?x?1，解得a=4則N點坐標為（4，3）當△AOC∽△CNM時，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB則點C關于直線x=1的對稱點C′即為點N由（2）N（2，1）∴N點坐標為（4，3）或（2，1）點睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點之間線段最短的數(shù)學模型構造、三角形相似．解答時，應用了數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想．13．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內的交點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點E的坐標．（2）如圖①，若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標為（，3）；（3）F坐標為（0，﹣）．【解析】【分析】1）把C與D坐標代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，確定出二次函數(shù)解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出E坐標即可；（2）過M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構造出二次函數(shù)求出最大值，并求出此時M坐標即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標，由圓周角定理及相似的性質得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F坐標．【詳解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，則E（3，1）；（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點H，設M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=23+MH?3=﹣m2+3m+3，當m=﹣=時，S最大=，此時M坐標為（，3）；（3）連接BF，如圖②所示，當﹣x2+x+20=0時，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴ ，即 ，解得：OF=，則F坐標為（0，﹣）．【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，二次函數(shù)圖象與性質，以及圖形與坐標性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．14．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由見解析；（3）當m≤時，平移后的拋物線總有不動點．【解析】試題分析：（1）分別寫出A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；根據(jù)OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45176。，∠BAC＝45176。，得到∠BAM＝90176。，進而得到△ABM是直角三角形；（3）根據(jù)拋物線的平以后的頂點設其解析式為，∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴，方程總有實數(shù)根，則≥0，得到m的取值范圍即可試題解析：解：（1）∵點A是直線與軸的交點，∴A點為（1，0）∵點B在直線上，且橫坐標為2，∴B點為（2，3）∵過點A、B的拋物線的頂點M在軸上，故設其解析式為：∴，解得：∴拋物線的解析式為．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90176。．理由如下：作BC⊥軸于點C，∵A（1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45176。；點M是拋物線的頂點，∴M點為（0，1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90176。∴∠MAC＝45176。；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90176?！唷鰽BM是直角三角形．（3）將拋物線的頂點平移至點（，），則其解析式為．∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，∴化簡得：∴＝＝當時，方程總有實數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動點∴．考點：二次函數(shù)的綜合應用（待定系數(shù)法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判別式）15．（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）與y軸的交點為A，與x軸的交點分別為B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動點E（t，0）過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q．（1）求拋物線的解析式；（2）當0＜t≤8時，求△APC面積的最大值；（3）當t＞2時，是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】試題分析：（1）首先利用根與系數(shù)的關系得出：，結合條件求出的值，然后把點B，C的坐標代入解析式計算即可；（2）（2）分0＜t＜6時和6≤t≤8時兩種情況進行討論，據(jù)此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6時和t＞6時兩種情況進行討論，再根據(jù)三角形相似的條件，即可得解．試題解析：解：（1）由題意知xx2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）則4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴該拋物線解析式為：y=；．（2）可求得A（0，3）設直線AC的解析式為：y=kx+b，∵∴∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，要構成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：當0＜t＜6時，設直線l與AC交點為F，則：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此時最大值為：，②當6≤t≤8時，設直線l與AC交點為M，則：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，當t=8時，取最大值，最大值為：12，綜上可知，當0＜t≤8時，△APC面積的最大值為12；（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90176。，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①當2＜t≤6時，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②當t＞6時，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考點：二次函數(shù)綜合題．