【正文】 數(shù)關(guān)系式，然后求出其最大值。12．如圖，拋物線的圖象過點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M（不與C點(diǎn)重合），使得？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)，周長為：；（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn)，故可設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得a的值，減小計算量．（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸：直線對稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時，最?。命c(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．（3）由可得，當(dāng)兩三角形以PA為底時，高相等，即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等．又因?yàn)镸在x軸上方，故有．由點(diǎn)A、P坐標(biāo)求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn) ∴可設(shè)交點(diǎn)式 把點(diǎn)代入得：∴拋物線解析式為（2）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最?。鐖D1，連接PB、BC∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸直線上，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時，最小最小設(shè)直線BC解析式為把點(diǎn)B代入得：，解得：∴直線BC：∴點(diǎn)使的周長最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，使得．∵S△PAM＝S△PAC∴當(dāng)以PA為底時，兩三角形等高∴點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等∵M(jìn)在x軸上方，設(shè)直線AP解析式為 解得：∴直線∴直線CM解析式為：解得：（即點(diǎn)C），∴點(diǎn)M坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，軸對稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法．其中第（3）題條件給出點(diǎn)M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規(guī)而簡單．13．如圖，某足球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2＋5t＋c，.(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系x＝10t，如果該運(yùn)動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？【答案】（1）足球飛行的時間是s時，足球離地面最高，；（2）能.【解析】試題分析：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過（0，）（，），于是得到，求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，當(dāng)t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，當(dāng)t=，y=﹣+5+=＜，于是得到他能將球直接射入球門．解：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過（0，）（，），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，∴當(dāng)t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，∴當(dāng)t=，y=﹣+5+=＜，∴他能將球直接射入球門．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點(diǎn).(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動．速度均為每秒1個單位長度，⊥AB交AC于點(diǎn)E①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，線段EG最長?②連接EQ．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值.【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）將A (4,8)、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴拋物線的解析式為：y=x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=∴PE=AP=t．PB=8t．∴點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)為（4+t，8t）.∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：（4+t）2+4(4+t）=t2+8.∴EG=t2+8(8t)=t2+t.∵＜0，∴當(dāng)t=4時，線段EG最長為2.②共有三個時刻：t1=， t2=，t3=．【解析】（1）根據(jù)題意即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，EG的長等于點(diǎn)G的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，得到一個函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征即可求得結(jié)果；②考慮腰和底，分情況討論．15．如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過△OAB的三個頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（1，），點(diǎn)B（3，﹣），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若P（4，m），Q（t，n）為該拋物線上的兩點(diǎn)，且n＜m，求t的取值范圍；（3）若C為線段AB上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之和最大時，求∠BOC的大小及點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）t＞4；（3）∠BOC=60176。，C（，）【解析】分析：（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；（2）利用拋物線增減性可解問題；（3）觀察圖形，點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之和小于等于AB；同時用點(diǎn)A（1，），點(diǎn)B（3，﹣）求出相關(guān)角度．詳解：（1）把點(diǎn)A（1，），點(diǎn)B（3，﹣）分別代入y=ax2+bx得 ，解得∴y=﹣（2）由（1）拋物線開口向下，對稱軸為直線x=，當(dāng)x＞時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)t＞4時，n＜m．（3）如圖，設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)F，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥OC于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E∵AC≥AD，BC≥BE，∴AD+BE≤AC+BE=AB，∴當(dāng)OC⊥AB時，點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之和最大．∵A（1，），點(diǎn)B（3，﹣），∴∠AOF=60176。，∠BOF=30176。，∴∠AOB=90176。，∴∠ABO=30176。．當(dāng)OC⊥AB時，∠BOC=60176。，點(diǎn)C坐標(biāo)為（，）．點(diǎn)睛：本題考查綜合考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的增減性．解答問題時注意線段最值問題的轉(zhuǎn)化方法．