中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)練習(xí)題-資料下載頁
2025-04-03 01:21本頁面
【正文】 1.【點睛】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到二次函數(shù)基本知識、梯形基本性質(zhì)，此類新定義題目，通常按照題設(shè)順序，逐次求解即可.13．如圖，拋物線經(jīng)過x軸上的點A（1，0）和點B及y軸上的點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為．①求拋物線的解析式．②點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．③過點A作于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標(biāo)．【答案】①；②當(dāng)時，△PBE的面積最大，最大值為；③點N的橫坐標(biāo)為：4或或．【解析】【分析】①點B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點A（1，0）在拋物線上，所以，解得，因此拋物線解析式：；②先求出點P到BC的高h(yuǎn)為，于是，當(dāng)時，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，所以點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設(shè)，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，Ⅰ．，所以解得（舍去），Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，解得（舍去），．【詳解】解：①∵點B、C在直線為上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵點A（1，0）在拋物線上，∴，∴，∴拋物線解析式：；②由題意，得，，由①知，∴點P到BC的高h(yuǎn)為，∴，當(dāng)時，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，∴點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設(shè)，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，∴，Ⅰ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴；Ⅱ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，Ⅲ．，∴，解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述，若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的橫坐標(biāo)為：4或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，已知經(jīng)過點的直線的表達(dá)式為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點的坐標(biāo)；（2）如圖①，點是線段上的一個動點，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點，四邊形為矩形．設(shè)矩形的周長為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時周長最大；（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使點構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，頂點C坐標(biāo)為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當(dāng)m=時，最大值L=9；（3）點Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經(jīng)過A、B兩點可求得這兩點的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點的坐標(biāo)；（2）由題意可表示出D、E的坐標(biāo)，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；（3）分別以點A、點B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對稱軸的交點即為所求的點．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達(dá)式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點坐標(biāo)為C（1,4）． （2）因為D在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因為E在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。，∴DE=EF．L=4DE=4m212m．L=4m212m=4（m+）2+9．∵a=40,∴二次函數(shù)有最大值當(dāng)m=時，最大值L=9．（3）點Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．考點：待定系數(shù)法；正方形的判定；二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；等腰三角形．15．如圖1,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,拋物線的頂點為軸于點．將拋物線平移后得到頂點為且對稱軸為直的拋物線．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,在直線上是否存在點,使是等腰三角形?若存在,請求出所有點的坐標(biāo):若不存在,請說明理由；(3)點為拋物線上一動點,過點作軸的平行線交拋物線于點，點關(guān)于直線的對稱點為，若以為頂點的三角形與全等,求直線的解析式．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點的坐標(biāo)為,；（3）的解析式為或.【解析】分析：（1）把和代入求出a、c的值，進(jìn)而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；（2）拋物線的對稱軸為,設(shè),已知，過點作軸于,分三種情況時行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；（3）設(shè),則,根據(jù)對稱性得,分點在直線的左側(cè)或右側(cè)時,結(jié)合以構(gòu)成的三角形與全等求解即可.詳解:(1)由題意知，解得， 所以,拋物線y的解析式為；因為拋物線平移后得到拋物線,且頂點為，所以拋物線的解析式為，即： ；(2)拋物線的對稱軸為,設(shè),已知，過點作軸于,則 ， ，當(dāng)時，即，解得或；當(dāng)時,得，無解；當(dāng)時,得,解得。綜上可知,在拋物線的對稱軸上存在點使是等腰三角形,此時點的坐標(biāo)為,.(3)設(shè),則,因為關(guān)于對稱,所以,情況一:當(dāng)點在直線的左側(cè)時, ,又因為以構(gòu)成的三角形與全等,當(dāng)且時,可求得,即點與點重合所以,設(shè)的解析式,則有解得,即的解析式為,當(dāng)且時,無解,情況二:當(dāng)點在直線右側(cè)時, ,同理可得的解析式為,綜上所述, 的解析式為或.點睛：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，解答（1）問的關(guān)鍵是求出a、c的值，解答（2）、（3）問的關(guān)鍵是正確地作出圖形，進(jìn)行分類討論解答，此題有一定的難度．
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